Vamos analisar o problema passo a passo. Dados: - Ponto A = (x, 1) - Ponto B = (1, 5) - Distância entre A e B = 5 A fórmula da distância entre dois pontos no plano cartesiano é: d = √[(x2 - x1)² + (y2 - y1)²] Aplicando: 5 = √[(1 - x)² + (5 - 1)²] 5 = √[(1 - x)² + 4²] 5 = √[(1 - x)² + 16] Elevando ambos os lados ao quadrado: 25 = (1 - x)² + 16 25 - 16 = (1 - x)² 9 = (1 - x)² Extraindo raiz quadrada: 1 - x = 3 ou 1 - x = -3 Resolvendo para x: Se 1 - x = 3 → x = 1 - 3 = -2 Se 1 - x = -3 → x = 1 + 3 = 4 Portanto, as soluções para x são -2 e 4. Agora, analisando as sentenças: I. Há apenas uma possibilidade com X = 4. Falso, pois temos duas soluções: x = -2 e x = 4. II. Se trocarmos o ponto B por (x, 9), o conjunto solução para X é o mesmo. Vamos verificar a distância entre A(x,1) e B(x,9): d = √[(x - x)² + (9 - 1)²] = √[0 + 8²] = 8 A distância é sempre 8, independente de x, então não é possível que a distância seja 5 para algum x. Portanto, o conjunto solução não é o mesmo. Falso. III. Caso X = -3 a distância não será de 5 unidades. Vamos calcular a distância para x = -3: d = √[(1 - (-3))² + (5 - 1)²] = √[(1 + 3)² + 4²] = √[4² + 16] = √[16 + 16] = √32 ≈ 5,66 ≠ 5 Verdadeiro. IV. Há duas soluções reais. Verdadeiro, pois x = -2 e x = 4. Conclusão: os itens verdadeiros são III e IV. Como não foi fornecida a lista de alternativas, a resposta correta é que estão corretos os itens III e IV.