Marque a alternativa que apresenta uma equação implícita correspondente da equação diferencial 3y2y1-4x3-2x=0 sabendo que, para x=1 o valor de y vale 2:

Question

Marque a alternativa que apresenta uma equação implícita correspondente da equação diferencial 3y2y1-4x3-2x=0 sabendo que, para x=1 o valor de y va...

Ed · Answer

Vamos resolver passo a passo a equação diferencial dada:

Equação diferencial:  
3y² y' - 4x³ - 2x = 0

Passo 1: Isolar y'  
3y² y' = 4x³ + 2x  
y' = (4x³ + 2x) / (3y²)

Passo 2: Escrever na forma separável:  
dy/dx = (4x³ + 2x) / (3y²)  
Multiplicando ambos os lados por 3y² dx:  
3y² dy = (4x³ + 2x) dx

Passo 3: Integrar ambos os lados:  
∫ 3y² dy = ∫ (4x³ + 2x) dx

Calculando as integrais:  
3 ∫ y² dy = ∫ 4x³ dx + ∫ 2x dx  
3 * (y³ / 3) = (4 * x⁴ / 4) + (2 * x² / 2) + C  
y³ = x⁴ + x² + C

Passo 4: Usar a condição inicial para encontrar C:  
Para x=1, y=2  
(2)³ = (1)⁴ + (1)² + C  
8 = 1 + 1 + C  
8 = 2 + C  
C = 6

Passo 5: Escrever a equação implícita final:  
y³ = x⁴ + x² + 6

Resposta: A equação implícita correspondente é  
**y³ = x⁴ + x² + 6**

Equações Diferenciais

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