Claro! Vamos resolver a integral imprópria da função \( f(x) = \frac{1}{\sqrt{x}} \) no intervalo \([0, a]\), onde \(a > 0\). Passo 1: Identificar a integral imprópria A integral é: \[ \int_0^a \frac{1}{\sqrt{x}} \, dx \] A função \( \frac{1}{\sqrt{x}} = x^{-\frac{1}{2}} \) não está definida em \(x=0\), pois há uma assíntota vertical. Passo 2: Definir a integral como limite Para tratar a descontinuidade em 0, definimos: \[ \int_0^a \frac{1}{\sqrt{x}} \, dx = \lim_{t \to 0^+} \int_t^a x^{-\frac{1}{2}} \, dx \] Passo 3: Calcular a integral indefinida \[ \int x^{-\frac{1}{2}} dx = \int x^{-\frac{1}{2}} dx = 2 x^{\frac{1}{2}} + C = 2 \sqrt{x} + C \] Passo 4: Calcular a integral definida com limite \[ \int_t^a \frac{1}{\sqrt{x}} dx = \left[ 2 \sqrt{x} \right]_t^a = 2 \sqrt{a} - 2 \sqrt{t} \] Passo 5: Calcular o limite quando \(t \to 0^+\) \[ \lim_{t \to 0^+} \left( 2 \sqrt{a} - 2 \sqrt{t} \right) = 2 \sqrt{a} - 0 = 2 \sqrt{a} \] Resposta final: \[ \boxed{ \int_0^a \frac{1}{\sqrt{x}} dx = 2 \sqrt{a} } \] A integral imprópria converge para \(2 \sqrt{a}\) para qualquer \(a > 0\).