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Sabe-se que as raízes da equação x3 - 3x2 - 6x + k = 0 estão em progressão aritmética.
Então podemos afirmar que o valor de k^2 é igual a:
a) 5/2
b) 4
c) 7/2
d) 3
e) 9/2
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Progresso com Exercícios

há 2 meses

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Exercícios de Polinômios
8 pág.

Exercícios de Polinômios

Respostas

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há 2 meses

Vamos resolver passo a passo. Dada a equação cúbica: \[ x^3 - 3x^2 - 6x + k = 0 \] Se as raízes estão em progressão aritmética (PA), podemos chamar as raízes de: \[ a - d, \quad a, \quad a + d \] Pela soma das raízes (teorema de Viète): \[ (a - d) + a + (a + d) = 3a = 3 \] Logo: \[ a = 1 \] Pela soma dos produtos das raízes tomadas dois a dois: \[ (a - d)a + a(a + d) + (a - d)(a + d) = -6 \] Calculando: \[ (a - d)a + a(a + d) + (a - d)(a + d) = \\ a(a - d) + a(a + d) + (a^2 - d^2) = \\ a^2 - a d + a^2 + a d + a^2 - d^2 = \\ 3a^2 - d^2 \] Substituindo \( a = 1 \): \[ 3(1)^2 - d^2 = 3 - d^2 = -6 \implies -d^2 = -9 \implies d^2 = 9 \] Pela multiplicação das raízes: \[ (a - d) \cdot a \cdot (a + d) = -k \] Calculando: \[ (1 - d) \cdot 1 \cdot (1 + d) = (1 - d)(1 + d) = 1 - d^2 = 1 - 9 = -8 \] Logo: \[ -k = -8 \implies k = 8 \] Queremos \( k^2 \): \[ k^2 = 8^2 = 64 \] Nenhuma das alternativas apresentadas corresponde a 64. Portanto, parece que há um erro nas alternativas ou na transcrição da questão. Você tem que criar uma nova pergunta.

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Prof Arthur Alves Matéria: Matemática

Colégio e Curso Progressão Vila da Penha
(EsSA – 2010) Sabe-se que 1, a e b são raízes do polinômio p(x) = x3 – 11x2 + 26x – 16, e que a > b. Nessas condições, o valor de ab + logb a é:
a) 49/3
b) 193/3
c) 67
d) 64
e) 19

(EsSA – 2014) Uma equação polinomial do 3º grau que admite as raízes −1/1, e 2/2 é:
a) x3 - 2x2 - 5x – 2 = 0.
b) 2x3 - x2 - 5x + 2 = 0.
c) 2x3 - x2 + 5x – 2 = 0.
d) 2x3 - x2 - 2x – 2 = 0.
e) 2x3 - x2 - 5x – 2 = 0.

EsSA 2016
O grau do polinômio (4x− 1)(x2 − x− 3)(x+ 1) é:
(A) 6
(B) 5
(C) 3
(D) 4
(E) 2

(EsSA – 2016) O conjunto solução da equação x3 - 2x2 - 5x + 6 = 0 é:
a) S = {–3; –1; 2}
b) S = {–0,5; –3; 4}
c) S = {–3; 1; 2}
d) S = {–2; 1; 3}
e) S = {0,5; 3; 4}

(EsSA – 2017) Se 2 + 3i é raiz de uma equação algébrica P(x) = 0, de coeficientes reais, então podemos afirmar que:
a) 2 também é raiz da mesma equação.
b) -3i também é raiz da mesma equação.
c) 2 – 3i também é raiz da mesma equação.
d) 3 + 2i também é raiz da mesma equação.
e) 3 – 2i também é raiz da mesma equação.

(EEAr – 2010) Se a maior das raízes da equação x3 – 6x2 + 11x – 6 = 0 é igual à soma das outras duas, então seu valor é divisor de
a) 10.
b) 16.
c) 18.
d) 20.

(EEAr – 2010) Seja A = {-2, -1, 1, 2} o conjunto formado pelas raízes de um polinômio P(x) do 4° grau. Se o coeficiente do termo de maior grau de P(x) é 1, então o termo independente é
a) 3.
b) 4.
c) 5.
d) 6.

(EEAr – 2010) Sabe-se que a equação x4 – 2x3 – 8x2 + 18x - 9 = 0 equivale a (x – 1)2.(x2 – 9) = 0. Assim, a raiz de multiplicidade 2 dessa equação é
a) -3
b) -1
c) 1
d) 3

(EEAr - 2011) Seja r a maior raiz da equação x(x + 2)(x - 1)3 = 0. Se m é a multiplicidade de r, então r.m é igual a
a) 6
b) 5
c) 4
d) 3

(EEAr - 2011) Se o polinômio P(x) = ax3 - 3x2 - bx - 3 é divisível por (x - 3)(x + 1), então o valor de a + b é
a) 10
b) 8
c) 7
d) 5

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