Vamos resolver a equação passo a passo: Equação dada: \[ \log_2(x+5) + \frac{1}{2} \log_2(x+8) = \frac{1}{2} \] Passo 1: Definir domínio - \(x + 5 > 0 \Rightarrow x > -5\) - \(x + 8 > 0 \Rightarrow x > -8\) Logo, domínio: \(x > -5\). --- Passo 2: Simplificar a equação Lembre que \(\frac{1}{2} \log_2(x+8) = \log_2((x+8)^{1/2}) = \log_2(\sqrt{x+8})\). Então: \[ \log_2(x+5) + \log_2(\sqrt{x+8}) = \frac{1}{2} \] Usando a propriedade \(\log a + \log b = \log (a \cdot b)\): \[ \log_2 \left( (x+5) \cdot \sqrt{x+8} \right) = \frac{1}{2} \] --- Passo 3: Passar para forma exponencial \[ (x+5) \cdot \sqrt{x+8} = 2^{\frac{1}{2}} = \sqrt{2} \] --- Passo 4: Resolver a equação \[ (x+5) \cdot \sqrt{x+8} = \sqrt{2} \] Elevar ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz: \[ (x+5)^2 \cdot (x+8) = 2 \] Expandir: \[ (x+5)^2 = x^2 + 10x + 25 \] Então: \[ (x^2 + 10x + 25)(x + 8) = 2 \] Multiplicando: \[ x^3 + 8x^2 + 10x^2 + 80x + 25x + 200 = 2 \] Simplificando: \[ x^3 + 18x^2 + 105x + 200 = 2 \] Passar o 2 para o lado esquerdo: \[ x^3 + 18x^2 + 105x + 198 = 0 \] --- Passo 5: Encontrar as raízes do polinômio Queremos as raízes reais de: \[ x^3 + 18x^2 + 105x + 198 = 0 \] Testar possíveis raízes racionais pelo Teorema do Resto (divisores de 198): Divisores de 198: ±1, ±2, ±3, ±6, ±9, ±11, ±18, ±22, ±33, ±66, ±99, ±198 Testar \(x = -3\): \[ (-3)^3 + 18(-3)^2 + 105(-3) + 198 = -27 + 18 \cdot 9 - 315 + 198 = -27 + 162 - 315 + 198 = 18 \] Não é zero. Testar \(x = -6\): \[ (-6)^3 + 18(-6)^2 + 105(-6) + 198 = -216 + 18 \cdot 36 - 630 + 198 = -216 + 648 - 630 + 198 = 0 \] Achamos uma raiz: \(x = -6\). --- Passo 6: Dividir o polinômio por \((x + 6)\) Dividindo: \[ x^3 + 18x^2 + 105x + 198 \div (x + 6) = x^2 + 12x + 33 \] --- Passo 7: Resolver a equação quadrática \[ x^2 + 12x + 33 = 0 \] Delta: \[ \Delta = 12^2 - 4 \cdot 1 \cdot 33 = 144 - 132 = 12 \] Raízes: \[ x = \frac{-12 \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{-12 \pm 2\sqrt{3}}{2} = -6 \pm \sqrt{3} \] --- Passo 8: Verificar domínio Lembre que \(x > -5\). - \(x = -6\) não pertence ao domínio (descartada). - \(x = -6 + \sqrt{3} \approx -6 + 1,732 = -4,268\) pertence ao domínio. - \(x = -6 - \sqrt{3} \approx -6 - 1,732 = -7,732\) não pertence ao domínio. --- Conclusão: O conjunto solução é \(\{ -6 + \sqrt{3} \}\), que é uma raiz real e irracional. --- Resposta correta: Ⓑ Seu conjunto solução só possui uma raiz real irracional.