Vamos analisar a equação dada: \[ \log_2(x+5) + 12 \log_2(x+8) = 12 \] Passo 1: Definir o domínio Para que os logaritmos estejam definidos: - \(x + 5 > 0 \Rightarrow x > -5\) - \(x + 8 > 0 \Rightarrow x > -8\) Logo, o domínio é \(x > -5\). --- Passo 2: Simplificar a equação Seja: \[ a = \log_2(x+5), \quad b = \log_2(x+8) \] A equação é: \[ a + 12b = 12 \] --- Passo 3: Expressar em termos de potências Sabemos que: \[ a = \log_2(x+5) \Rightarrow 2^a = x + 5 \] \[ b = \log_2(x+8) \Rightarrow 2^b = x + 8 \] Da equação \(a + 12b = 12\), temos: \[ a = 12 - 12b \] Substituindo \(a\): \[ 2^a = 2^{12 - 12b} = 2^{12} \cdot 2^{-12b} = 4096 \cdot (2^b)^{-12} \] Mas \(2^a = x + 5\) e \(2^b = x + 8\), então: \[ x + 5 = 4096 \cdot (x + 8)^{-12} \] --- Passo 4: Resolver a equação Multiplicando ambos os lados por \((x + 8)^{12}\): \[ (x + 5)(x + 8)^{12} = 4096 \] --- Passo 5: Análise da equação - \(x > -5\) - \(x + 5 > 0\) - \(x + 8 > 0\) A função \(f(x) = (x + 5)(x + 8)^{12}\) é contínua e crescente para \(x > -5\), pois: - \(x + 5\) é crescente - \((x + 8)^{12}\) é crescente (potência par, positiva) Vamos verificar valores para encontrar o número de soluções: - Para \(x = 0\): \[ f(0) = 5 \times 8^{12} \gg 4096 \] Muito maior que 4096. - Para \(x = -4\): \[ f(-4) = 1 \times 4^{12} = 4^{12} = (2^2)^{12} = 2^{24} = 16.777.216 \gg 4096 \] Ainda muito maior. - Para \(x = -4.9\): \[ f(-4.9) = 0.1 \times 3.1^{12} \] \(3.1^{12}\) é um número grande, mas multiplicado por 0.1 diminui. - Para \(x = -4.999\): \[ f(-4.999) \approx 0.001 \times 3.001^{12} \] Ainda positivo, mas menor. - Para \(x = -5\), não definido. - Para \(x\) próximo de \(-5\), \(f(x)\) tende a 0. --- Passo 6: Conclusão Como \(f(x)\) é contínua e crescente no domínio \(x > -5\), e: - \(f(-5^+) \to 0\) - \(f(x)\) cresce até valores muito maiores que 4096 Existe exatamente um valor de \(x\) tal que \(f(x) = 4096\). Portanto, a equação tem exatamente uma raiz real no domínio. --- Passo 7: Verificar se a raiz é racional ou irracional A equação é: \[ (x + 5)(x + 8)^{12} = 4096 = 2^{12} \] Se \(x + 8 = 2^k\), então: \[ (x + 5) = \frac{2^{12}}{(x + 8)^{12}} = 2^{12} \cdot 2^{-12k} = 2^{12 - 12k} \] Mas \(x + 5 = (x + 8) - 3 = 2^k - 3\). Logo: \[ 2^k - 3 = 2^{12 - 12k} \] Essa equação é difícil de resolver exatamente, mas não há indicação de que \(k\) seja racional, logo a raiz provavelmente é irracional. --- Resposta correta: Ⓑ Seu conjunto solução só possui uma raiz real irracional.