Vamos analisar a série de potência dada: \[ \sum_{k=0}^{\infty} (k+1)! (x+4)^k \] Queremos determinar o raio e o intervalo de convergência. Passo 1: Aplicar o Critério da Razão O critério da razão para séries de potências diz que o raio de convergência \( R \) é dado por: \[ \frac{1}{R} = \lim_{k \to \infty} \left| \frac{a_{k+1}}{a_k} \right| \] onde \( a_k = (k+1)! \). Calculando: \[ \left| \frac{a_{k+1}}{a_k} \right| = \frac{(k+2)!}{(k+1)!} = k+2 \to \infty \quad \text{quando } k \to \infty \] Passo 2: Determinar o raio Como o limite da razão dos coeficientes tende a infinito, o inverso do raio será infinito, ou seja: \[ \frac{1}{R} = \infty \implies R = 0 \] Passo 3: Interpretar o resultado Raio zero significa que a série converge somente para \( x = -4 \). Conclusão: - Raio de convergência: 0 - Intervalo de convergência: \(\{ -4 \}\) Analisando as alternativas, a que corresponde a raio zero e intervalo contendo apenas um ponto é a alternativa C. Resposta correta: C) 0 e [ -4 ] (o enunciado mostra 2 1, mas o correto é que o raio é zero e o intervalo é o ponto -4)