Vamos analisar passo a passo. Dada a solução particular y = -4x², queremos encontrar qual equação diferencial não homogênea tem essa solução particular. 1. Calcule as derivadas de y: y = -4x² y' = d/dx (-4x²) = -8x y'' = d/dx (-8x) = -8 2. Substitua y, y' e y'' em cada equação das alternativas para verificar qual delas gera um termo não homogêneo compatível com y = -4x². Alternativa A: 6y' + 4y = 24x - 8 6(-8x) + 4(-4x²) = -48x -16x² O lado esquerdo é -16x² -48x, mas o lado direito é 24x - 8, diferente. Não confere. Alternativa B: y'' - 3y' + 4y = -16x² + 14x - 8 Substituindo: y'' = -8 -3y' = -3(-8x) = +24x 4y = 4(-4x²) = -16x² Somando: -8 + 24x -16x² = -16x² + 24x -8 Comparando com o lado direito: -16x² + 14x -8 O termo em x não confere (24x ≠ 14x). Não é essa. Alternativa C: y'' - 9y' + 10y = 16x - 8 Substituindo: -8 - 9(-8x) + 10(-4x²) = -8 + 72x - 40x² Lado direito: 16x - 8 Não confere (tem termo em x² no lado esquerdo). Alternativa D: y'' - 7y' + 8y = 24x² + 24x Substituindo: -8 -7(-8x) + 8(-4x²) = -8 + 56x - 32x² Lado direito: 24x² + 24x Não confere (sinais e coeficientes diferentes). Alternativa E: y'' - 3y' + 4y = -16x² + 24x - 8 Substituindo: -8 -3(-8x) + 4(-4x²) = -8 + 24x -16x² Lado direito: -16x² + 24x - 8 Confere perfeitamente. Resposta correta: alternativa E.