Vamos resolver passo a passo. Dada a função: \[ g(x,y) = 2x^2 + y^3 \] Com as variáveis: \[ x = r \cos \theta \] \[ y = r \sen \theta \] Queremos a derivada parcial de \( g \) em relação a \( r \), ou seja, \(\frac{\partial g}{\partial r}\). Pela regra da cadeia: \[ \frac{\partial g}{\partial r} = \frac{\partial g}{\partial x} \cdot \frac{\partial x}{\partial r} + \frac{\partial g}{\partial y} \cdot \frac{\partial y}{\partial r} \] Calculando as derivadas parciais de \( g \): \[ \frac{\partial g}{\partial x} = 4x \] \[ \frac{\partial g}{\partial y} = 3y^2 \] Calculando as derivadas de \( x \) e \( y \) em relação a \( r \): \[ \frac{\partial x}{\partial r} = \cos \theta \] \[ \frac{\partial y}{\partial r} = \sen \theta \] Substituindo: \[ \frac{\partial g}{\partial r} = 4x \cdot \cos \theta + 3y^2 \cdot \sen \theta \] Substituindo \( x = r \cos \theta \) e \( y = r \sen \theta \): \[ \frac{\partial g}{\partial r} = 4 (r \cos \theta) \cos \theta + 3 (r \sen \theta)^2 \sen \theta \] \[ = 4r \cos^2 \theta + 3 r^2 \sen^3 \theta \] Comparando com as alternativas, a correta é: a) \(4r \cos^2 \theta + 3 r^2 \sen^3 \theta\).