Vamos resolver passo a passo. Dado: \(\cos(\theta) = \frac{3}{5}\) e \(\theta\) está no quarto quadrante. 1. Calcular \(\sin(\theta)\): No quarto quadrante, \(\sin(\theta)\) é negativo. Usando a identidade \(\sin^2(\theta) + \cos^2(\theta) = 1\): \[ \sin^2(\theta) = 1 - \cos^2(\theta) = 1 - \left(\frac{3}{5}\right)^2 = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25} \] \[ \sin(\theta) = -\frac{4}{5} \] 2. Calcular \(\sin(2\theta)\): \[ \sin(2\theta) = 2 \sin(\theta) \cos(\theta) = 2 \times \left(-\frac{4}{5}\right) \times \frac{3}{5} = -\frac{24}{25} \] 3. Calcular \(\cos(2\theta)\): Usando a fórmula \(\cos(2\theta) = \cos^2(\theta) - \sin^2(\theta)\): \[ \cos(2\theta) = \left(\frac{3}{5}\right)^2 - \left(-\frac{4}{5}\right)^2 = \frac{9}{25} - \frac{16}{25} = -\frac{7}{25} \] 4. Determinar o quadrante de \(2\theta\): \(\theta\) está no quarto quadrante (270° a 360° ou \(\frac{3\pi}{2}\) a \(2\pi\)). Multiplicando por 2, \(2\theta\) está entre 540° e 720°, ou seja, entre \(3\pi\) e \(4\pi\). Como o círculo trigonométrico se repete a cada \(2\pi\), subtraímos \(2\pi\) para encontrar o ângulo equivalente entre 0 e \(2\pi\): \[ 2\theta - 2\pi \in (540° - 360°, 720° - 360°) = (180°, 360°) \] Ou seja, \(2\theta\) está no terceiro ou quarto quadrante. Como \(\cos(2\theta) < 0\) e \(\sin(2\theta) < 0\), \(2\theta\) está no terceiro quadrante. 5. Calcular \(8 \cot(2\theta) - 2 \sec(-\theta)\): - \(\cot(2\theta) = \frac{\cos(2\theta)}{\sin(2\theta)} = \frac{-\frac{7}{25}}{-\frac{24}{25}} = \frac{7}{24}\) - \(\sec(-\theta) = \frac{1}{\cos(-\theta)}\). Como \(\cos\) é função par, \(\cos(-\theta) = \cos(\theta) = \frac{3}{5}\), então: \[ \sec(-\theta) = \frac{1}{\frac{3}{5}} = \frac{5}{3} \] Agora: \[ 8 \cot(2\theta) - 2 \sec(-\theta) = 8 \times \frac{7}{24} - 2 \times \frac{5}{3} = \frac{56}{24} - \frac{10}{3} = \frac{7}{3} - \frac{10}{3} = -\frac{3}{3} = -1 \] --- Resumo das respostas: - \(\sin(\theta) = -\frac{4}{5}\) - \(\sin(2\theta) = -\frac{24}{25}\) - \(\cos(2\theta) = -\frac{7}{25}\) - \(2\theta\) está no terceiro quadrante (justificado pelo sinal de seno e cosseno) - \(8 \cot(2\theta) - 2 \sec(-\theta) = -1\)