Vamos determinar o domínio da função \( f(x) = \ln\left(\frac{x+3}{2x^2}\right) \). Passo 1: Condição para o argumento do logaritmo O argumento do logaritmo natural deve ser estritamente positivo: \[ \frac{x+3}{2x^2} > 0 \] Passo 2: Analisar o sinal do numerador e denominador - Numerador: \( x + 3 \) - Denominador: \( 2x^2 \) Note que \( 2x^2 > 0 \) para todo \( x \neq 0 \), pois \( x^2 \geq 0 \) e multiplicado por 2 é positivo, exceto em \( x=0 \), onde é zero (não permitido no denominador). Passo 3: Inequação Como o denominador é positivo para \( x \neq 0 \), o sinal da fração depende do numerador: \[ \frac{x+3}{2x^2} > 0 \implies x + 3 > 0 \quad \text{e} \quad x \neq 0 \] Logo, \[ x + 3 > 0 \implies x > -3 \] Passo 4: Excluir valores que anulam o denominador \( x \neq 0 \) porque o denominador não pode ser zero. Passo 5: Conclusão O domínio é: \[ (-3, 0) \cup (0, +\infty) \] Resposta final: \[ \boxed{(-3, 0) \cup (0, +\infty)} \] --- Resumo: - O argumento do logaritmo deve ser positivo. - Denominador não pode ser zero. - Numerador \( x+3 > 0 \Rightarrow x > -3 \). - Denominador \( 2x^2 > 0 \) para \( x \neq 0 \). - Portanto, domínio: \( x \in (-3, 0) \cup (0, +\infty) \).