Encontrar a assíntota vertical e horizontal da função f(x) = (2x2 + x – 1) / (x2 + x -2)

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Assíntotas verticais: São os pontos não definidos também conhecidos como os zeros do denominador da função simplificada

Assim, seja \(f(x)=\frac{2x^2+x-1}{x^2+x-2}\)

Vamos tomar o denominador e comparar com o zero:

\(x^2+x-2=0\)

Resolvendo por bhaskara:

\(x_{1,\:2}=\frac{-1\pm \sqrt{1^2-4\cdot \:1\left(-2\right)}}{2\cdot \:1}\\ x=\frac{-1+\sqrt{1^2-4\cdot \:1\left(-2\right)}}{2\cdot \:1}:\quad 1\\ =\frac{-1-\sqrt{1^2-4\cdot \:1\left(-2\right)}}{2\cdot \:1}:\quad -2\)

Assim, a função não é definida quando \(\boxed{x=1}\) e \(\boxed{x=-2}\) e portando essas são as assíntotas verticais ( \(x=1\); \(x=-2\))

Assintotas horizontais:

Comos o grau do numerador\(=\) grau do denominador \(= 2\)

o grau da assintota horizontal é:

\(y=\frac{\mathrm{coeficiente\:principal\:do\:numerador}}{\mathrm{coeficiente\:principal\:do\:denominador}}\)

Coeficiente principal do numerador é \(2 \)( em  \(2x^2\))

Coeficiente principal do denominador é \(1\) ( em \(1.x^2\))

Assim:

\(y=\frac{2}{1}\\ y=2\)

Assim, a assintota horzintal é \(\boxed{y=2}\)