Dada a função y=x3+4x2-5, determine a reta tangente no ponto (-1, -2) e indique a única alternativa correta.

A derivada da função é igual a inclinação da reta tangente, assim:

f '(x)=3x2+8x e no ponto dado temos x= -1

f '(x)= 3 (-1)^2 + 8 (-1)

f '(x)= 3 - 8= -5

Então a reta tangente é y - (-2)= -5 (x - (-1))

y+2= -5 (x+1) ou y= -5x -7

Primeiramente devemos encontrar o coeficiente angular da função:

\(\begin{align} & y={{x}^{3}}+4{{x}^{2}}-5 \\ & y'=3{{x}^{2}}+8x+0 \\ & y'(-1)=3{{(-1)}^{2}}+8(-1) \\ & y'(-1)=3-8 \\ & y'(-1)=-5 \\ \end{align}\ \)

Agora encontraremos a equação da reta tangente:

\(\begin{align} & y-{{y}_{0}}=y'(x-{{x}_{0}}) \\ & y-(-2)=-5(x-(-2)) \\ & y+2=-5(x+2) \\ & y+2=-5x-10 \\ & y=-5x-10-2 \\ & y=-5x-12 \\ \end{align} \)

Portanto, a equação da reta tangente será \(\boxed{y = - 5x - 12}\).