Determine os vetores u e v tais que ||u||²+||v||²=||u-v||²?

Sejam u = (a,b) e v = (c,d). Logo, procuramos:

\(\sqrt{a^2 + b^2} + \sqrt{c^2 + d^2} = \sqrt{(a-c)^2 + (b-d)^2} \\ a^2 + b^2 + c^2 + d^2 + 2\sqrt{(a^2+b^2)(c^2+d^2)} = (a - c)^2 + (b-d)^2 \\ a^2 + b^2 + c^2 + d^2 + 2\sqrt{(a^2+b^2)(c^2+d^2)} = a^2 - 2ac + c^2 + b^2 - 2bd + d^2 \\ 2ac + 2bd = -2\sqrt{(a^2+b^2)(c^2+d^2)} \\ ac + bd = -\sqrt{(a^2+b^2)(c^2+d^2)} \\ a^2c^2 + 2abcd + b^2d^2 = a^2c^2 + a^2d^2 + b^2c^2 + b^2d^2 \\ 2abcd = a^2d^2 + b^2c^2 \\ a^2d^2 -2abcd + b^2c^2 = 0 \\ (ad - bc)^2 = 0 \\ ad = bc \\ \frac{a}{c} = \frac{b}{d}\)

Para esclarecimento:

- Na primeira e quinta linhas elevou-se ambos os lados ao quadrado;

- Na quarta linha dividiu-se ambos os lados por 2;

- Da oitava para a nona linha fatorou-se em termos de binômio.

Logo, os vetores u e v são tais que suas cotas são proporcionais, ou seja, paralelos.

a.a=||a||^2

Assim, ||u-v||^2=(u-v).(u-v)

||u-v||^2=(u.u)-(u.v)-(v.u)+(v.v)=(||u||^2)+(||v||^2)-2(u.v)

Para a igualdade apresentada no enunciado estar certa basta que: -2(u.v)=0, Ou seja os vetores u e v são quaisqueres vetores perpendiculares entre si. 

Suponho que seja assim a resolução. Nao tenho a certeza que está certa. Se alguem puder vir aqui validar a minha resposta era otimo.