Se o balde parte do repouso, qual é o tempo mínimo necessário para elevar o balde a uma distância vertical de 12,0m sem romper a corda?

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Neste exercício, para calcular o tempo mínimo para elevar o balde sem romper a corda, serão analisadas as duas forças exercidas no balde.

A primeira força sobre o balde é a força do seu peso \(P\), cujo sentido é orientado de cima para baixo. Considerando a massa \(m=5,60 \space \mathrm {kg}\) do balde e a aceleração da gravidade \(g=9,81 \space \mathrm {m/s^2}\), o valor de \(P\) é:

\(\rightarrow P=mg\)

\(\rightarrow P=5,60\cdot 9,81\)

\(\rightarrow P=54,94 \space \mathrm N\)

A segunda força exercida sobre o balde é a tração da corda, cujo sentido é orientado de baixo para cima. Para calcular o tempo mínimo necessário, vamos considerar a corda na iminência de romper. Portanto, o valor de tração considerado será o de ruptura, ou seja:

\(\rightarrow T_{max}=75 \space \mathrm N\)

Aplicando a segunda Lei de Newton \((\sum \overrightarrow F = ma)\) para o eixo vertical (eixo y), a equação resultante é:

\(\rightarrow T_{max}-P=ma\)

Com a expressão anterior, será possível calcular a aceleração do balde. Portanto, substituindo os valores conhecidos, o valor de \(a\) é:

\(\rightarrow 75-54,94=5,60 \cdot a\)

\(\rightarrow5,60 \cdot a=20,06\)

\(\rightarrow a=3,58 \space \mathrm {m/s^2}\)

Considerando como sentido positivo o sentido de baixo para cima, a posição inicial e final do balde são, respectivamente:

\(\rightarrow s_{0,y}=0 \space \mathrm {m}\)

\(\rightarrow s_{y}=12 \space \mathrm {m}\)

Conforme dito no enunciado, o balde partiu do repouso. Portanto, sua velocidade vertical inicial é:

\(\rightarrow v_{0,y}=0 \space \mathrm {m/s}\)

Agora, será utilizada a equação para movimento retilíneo uniformemente variado, conforme apresentada a seguir:

\(\rightarrow s=s_{0}+v_{0}t+{1 \over 2}at^2\)

Finalmente, substituindo os valores conhecidos para o eixo y, o valor do tempo mínimo é:

\(\rightarrow s_{y}=s_{0,y}+v_{0,y}t+{1 \over 2}a_{y}t^2\)

\(\rightarrow 12=0+0t+{1 \over 2}3,58t^2\)

\(\rightarrow t^2={{12 \cdot 2} \over 3,58}\)

\(\rightarrow \fbox{$t=2,59 \space \mathrm s$}\)