Determine os autovalores de T:R³--R³, T(x, y, z)=(x, 2x-3y, 5x+2y+2z)

Para escrever a matriz do operador T (x, y, z) na base canônica, pega os coeficientes de cada vetor de T da seguinte forma:

Vetor x: (1, 0, 0) onde x=1, y=0, z=0

Vetor 2x - 3y: (2, -3, 0) onde x=2, y= -3, z=0

Vetor 5x +2y +2z: (5, 2, 2) onde x=5, y=2, z=2

Escrevendo na matriz, o primeiro vetor fica na primeira linha, o segundo na segunda e assim por diante. A matriz fica:

1  0  0

2 -3  0

5  2  2

O polinomio caracteristico P(x) é:

1-x  0    0

2  -3-x   0

5     2   2-x

Calculando o determinante da matriz, temos que: (1-x).(-3-x).(2-x)

Os autovalores são definidos pelo zero da função, ou seja, quando cada equação entre os parenteses são zero, qual o valor de x?

1-x --> x=1

-3-x --> x=-3

2-x --> x=2

Esses são os autovalores de T

Precisa verificar cada autovalor, caso seja pedido os autovetores, dessa forma:

notação: [ T-xI] = [T-hI] troca x por h, para não confundir posteriormente. Essa matriz é dada pela substituição do autovalor, na matriz p(x).

Para h=1, tem-se [T-I]:

0  0  0

2 -4  0

5  2  1

Como há uma linha nula, há uma variável livre, então, colocando as demais equações em função de y (poderia colocar em função de x, questão de escolha), tem-se:

x=2y e z=12y com y livre

então, (x,y,z) pertence ao espaço com autovalor 1, sendo representado por:

(x,y,z) = (2y, y, 12y) = y (2, 1, 12) é um autovetor de T

Repete o mesmo processo com os outros autovalores, obtendo:

Para h= -3

4  0  0

2  0  0

5  2  5

como as duas primeiras linhas são múltiplas, há uma variável livre. Resolvendo esse sistema, obtém:

x=0 e y= -5z/2 (critério arbitrário de escolha)

Logo, (x,y,z) = (0, -5z/2, z)= z/2 (0, -5, 2) é um autovetor de T

Como não foi pedido, não vou presseguir com a resolução dos autovetores, mas caso seja desejado achar tal solução, é só continuar com o mesmo procedimento de resolução.

Sendo \(\lambda\) um autovalor de \(T: \mathbb{R}^3-\mathbb{R}^3\), tem-se que:

\(\Longrightarrow T(x,y,z) = \lambda(x,y,z)\)

\(\Longrightarrow T(x,y,z) = (\lambda x,\lambda y,\lambda z)\)

Para encontrar os autovalores, deve ser escrita a seguinte equação:

\(\Longrightarrow (x,2x-3y,5x+2y+2z) = T(x,y,z)\)

\(\Longrightarrow (x,2x-3y,5x+2y+2z) = (\lambda x,\lambda y,\lambda z)\)

Com base na equação anterior, pode-se escrever o seguinte sistema de equações:

\(\Longrightarrow \left \{ \begin{matrix} x= \lambda x \\ 2x-3y = \lambda y \\ 5x+2y+2z = \lambda z \end{matrix} \right.\)      \(\rightarrow \left \{ \begin{matrix} x- \lambda x =0 \\ 2x-3y - \lambda y =0 \\ 5x+2y+2z - \lambda z =0 \end{matrix} \right.\)     \(\rightarrow \left \{ \begin{matrix} (1- \lambda) x =0 \\ 2x+(-3- \lambda) y =0 \\ 5x+2y+(2- \lambda)z = 0 \end{matrix} \right.\)

O sistema de equações pode ser escrito por matrizes, conforme apresentado a seguir:

\(\Longrightarrow \begin{bmatrix} 1-\lambda & 0 & 0 \\ 2 & -3-\lambda & 0 \\ 5 & 2 & 2-\lambda \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ \end{bmatrix}\)

Os autovalores de \(T(x,y,z)\) são os valores de \(\lambda\) que anulam o determinante da matriz 3x3 anterior. Portanto, tem-se que:

\(\Longrightarrow \det \begin{bmatrix} 1-\lambda & 0 & 0 \\ 2 & -3-\lambda & 0 \\ 5 & 2 & 2-\lambda \\ \end{bmatrix}=0\)

\(\Longrightarrow (1-\lambda) \Big[(-3-\lambda)(2-\lambda) - 0 \cdot 2 \Big] + 0 \Big[0 \cdot 5 - 2\cdot(2-\lambda) \Big] + 0 \Big[2 \cdot 2 - (-3-\lambda) \cdot 5 \Big] =0\)

\(\Longrightarrow (1-\lambda) \Big[(-3-\lambda)(2-\lambda) - 0 \Big] +0 + 0 = 0\)

\(\Longrightarrow (1-\lambda) (-3-\lambda)(2-\lambda)=0\)

Concluindo, os valores de \(\lambda\) que anulam a equação anterior são:

\(\Longrightarrow \fbox {$ \left \{ \begin{matrix} \lambda_1 = 1 \\ \lambda_2 = -3 \\ \lambda_3 = 2 \end{matrix} \right. $}\)