Seja & a curva dada por &(t)= (2cost , 2sent , 3t). Mostre que seu traço está sobre um cilindro

Nesse exercício vamos estudar curvas parametrizadas tridimensionais.

Para mostrarmos que o traço da curva está sobre um cilindro, temos que mostrar que a curva parametrizada dada respeita a equação de um cilindro. Vamos primeiro lembrar a definição de cilindro: sólido geométrico com seções transversais circulares e congruentes.

Fontes: 

https://www.infoescola.com/geometria-espacial/cilindro/

https://www.somatematica.com.br/emedio/espacial/espacial15.php

Dessa forma para termos um cilindro, a seção transversal em alguma das direções deve ser constante. No nosso caso, temos:

$$x^2+y^2=(2\cos t)^2+(2\sin t)^2=4(\sin^2t+\cos^2t)=4\cdot1=4$$

Ou seja, temos seção transversal ao longo do eixo $\hat z$ sempre igual a uma circunferência de raio 2.

Concluímos, portanto, que o traço da curva dada está sobre um cilindro.

Nesse exercício vamos estudar curvas parametrizadas tridimensionais.

Para mostrarmos que o traço da curva está sobre um cilindro, temos que mostrar que a curva parametrizada dada respeita a equação de um cilindro. Vamos primeiro lembrar a definição de cilindro: sólido geométrico com seções transversais circulares e congruentes.

Fontes:

https://www.infoescola.com/geometria-espacial/cilindro/

https://www.somatematica.com.br/emedio/espacial/espacial15.php

Dessa forma para termos um cilindro, a seção transversal em alguma das direções deve ser constante. No nosso caso, temos:

$$x^2+y^2=(2\cos t)^2+(2\sin t)^2=4(\sin^2t+\cos^2t)=4\cdot1=4$$

Ou seja, temos seção transversal ao longo do eixo $\hat z$ sempre igual a uma circunferência de raio 2.

Concluímos, portanto, que o traço da curva dada está sobre um cilindro.

Nesse exercício vamos estudar curvas parametrizadas tridimensionais.

Para mostrarmos que o traço da curva está sobre um cilindro, temos que mostrar que a curva parametrizada dada respeita a equação de um cilindro. Vamos primeiro lembrar a definição de cilindro: sólido geométrico com seções transversais circulares e congruentes.

Fontes:

https://www.infoescola.com/geometria-espacial/cilindro/

https://www.somatematica.com.br/emedio/espacial/espacial15.php

Dessa forma para termos um cilindro, a seção transversal em alguma das direções deve ser constante. No nosso caso, temos:

$$x^2+y^2=(2\cos t)^2+(2\sin t)^2=4(\sin^2t+\cos^2t)=4\cdot1=4$$

Ou seja, temos seção transversal ao longo do eixo $\hat z$ sempre igual a uma circunferência de raio 2.

Concluímos, portanto, que o traço da curva dada está sobre um cilindro.