Taxas relacionadas

SUBISTITUA 

Neste exercício, serão aplicados os conhecimentos sobre derivação.

Sendo \(P\) a população de tâmias, sabe-se que a equação de \(P\) em função do tempo é:

\(\Longrightarrow P(t)=100(1+0,3t+0,04t^2)\)

O exercício pede a taxa de crescimento da população de tâmias \(P\) ao longo do tempo \(t\). Ou seja, é pedido o valor de \({dP(t) \over dt}\) para \(P=200\). Portanto, é necessário calcular o instante de tempo no qual \(P(t)=200\).

Sendo \(t_{200}\) o tempo no qual \(P(t_{​​​​200})=200\), tem-se a seguinte equação:

\(\Longrightarrow P(t_{200})=100(1+0,3t_{200}+0,04t_{200}^2)\)

\(\Longrightarrow 200=100(1+0,3t_{200}+0,04t_{200}^2)\)

\(\Longrightarrow 1+0,3t_{200}+0,04t_{200}^2=2\)

\(\Longrightarrow 0,04t_{200}^2 +0,3t_{200}-1=0\)

A equação anterior está no formato da fórmula de Bhaskara, sendo \(a=0,04\), \(b=0,3\) e \(c=-1\). Portanto, o valor de \(t_{200}\) é:

\(\Longrightarrow t_{200} = {-b \pm \sqrt{b^2-4ac} \over 2a}\)

\(\Longrightarrow t_{200} = {-0,3 \pm \sqrt{0,3^2-4(0,04)(-1)} \over 2(0,04)}\)

\(\Longrightarrow t_{200} = {-0,3 \pm 0,5 \over 0,08}\)

Como o valor do tempo não pode ser negativo, o valor de \(t_{200}\) é:

\(\Longrightarrow t_{200} = {-0,3 + 0,5 \over 0,08}\)

\(\Longrightarrow t_{200} = 2,5 \space \mathrm s\)

Então, o exercício pede o valor de \({dP(t) \over dt}\) para \(t_{200} = 2,5 \space \mathrm s\), ou \({dP(t_{200}) \over dt}\).

Conhecendo a expressão \(\Longrightarrow P(t)=100(1+0,3t+0,04t^2)\), sua derivação em relação a \(x\) é:

\(\Longrightarrow {dP(t) \over dt}={d \over dt}[100(1+0,3t+0,04t^2)]\)

\(\Longrightarrow {dP(t) \over dt}={d \over dt}[100(1+0,3t+0,04t^2)]\)

\(\Longrightarrow {dP(t) \over dt}=100(0+0,3*1+0,04*2t)\)

\(\Longrightarrow {dP(t) \over dt}=100(0,3+0,08t)\)

\(\Longrightarrow {dP(t) \over dt}=30+8t\)

Finalmente, substituindo \(t_{200} = 2,5 \space \mathrm s\) na equação anterior, o valor de \({dP(t_{200}) \over dt}\) é:

\(\Longrightarrow {dP(t_{200}) \over dt}=30+8t_{200}\)

\(\Longrightarrow {dP(t_{200}) \over dt}=30+8*2,5\)

\(\Longrightarrow \fbox{${dP(t_{200}) \over dt}=50 \space \mathrm{tamias/s}$}\)