Neste exercício, o objetivo é realizar a integral indefinida da função \({\sin}^{3}(1-2\theta) \space {\cos}^{3}(1-2\theta) \space d\theta\).

Para fins de simplificação da integral \(\int {\sin}^{3}(1-2\theta) \space {\cos}^{3}(1-2\theta) \space d\theta\), será realizado o método da mudança de variável. Ou seja, será adicionada ao exercício a variável \(x = 1 - 2\theta\). Com isso, a derivada de \(x\) em função de \(\theta\) é:

\(\rightarrow {dx \over d\theta} = -2\)

\(\rightarrow d \theta= -{1\over 2}dx \space \space (I)\)

Substituindo a variável \(x\) e a equação \((I)\), a integral fica da seguinte forma:

\(\rightarrow\int {\sin}^{3}x \space {\cos}^{3}x \space ( -{1\over 2}dx)\)

\(\rightarrow-{1\over 2}\int {\sin}^{3}x \space {\cos}^{3}x \space dx\)

Sabendo que \(\cos^2x \space =(1-\sin^2x)\) e realizando algumas manipulações, a integral fica da seguinte forma:

\(\rightarrow-{1\over 2}\int {\sin}^{3}x \space {\cos}^{2}x \space \cos x \space dx\)

\(\rightarrow-{1\over 2}\int {\sin}^{3}x \space (1-{\sin}^{2}x) \space (\cos x \space dx) \space \space (II)\)

Agora, será realizada uma nova mudança de variável. Será adicionada ao exercício a variável \(u = \sin x\). Com isso, a derivada de \(u\) em função de \(x\) é:

\(\rightarrow {du \over dx} = \cos x\)

\(\rightarrow du = \cos x \space dx \space \space (III)\)

Substituindo a variável \(u\) e a equação \((III)\) na expressão \((II)\), a expressão resultante é:

\(\rightarrow-{1\over 2}\int u^{3} \space (1-u^{2}) \space (du)\)

\(\rightarrow-{1\over 2}\int (u^{3} -u^5) \space du\)

Agora, a expressão resultante é uma integral possível de resolver. Portanto:

\(\rightarrow-{1\over 2} ({1\over 4}u^4 - {1\over 6}u^6)+c\)

\(\rightarrow- {1\over 8}u^4 + {1\over 12}u^6+c\)

Como se trata de uma integral indefinida, é necessária a presença da constante \(c\).

Agora, é necessário retornar à variável original do exercício, ou seja, \(\theta\). Substituindo \(u = \sin x\) na expressão anterior, a expressão resultante é:

\(\rightarrow- {1\over 8}\sin^4x + {1\over 12}\sin^6x+c\)

Finalmente, substituindo \(x = 1 - 2\theta\) na expressão anterior, a integral \(\int {\sin}^{3}(1-2\theta) \space {\cos}^{3}(1-2\theta) \space d\theta\) é:

\(\rightarrow \fbox {$ - {1\over 8}\sin^4(1 - 2\theta) + {1\over 12}\sin^6(1 - 2\theta)+c $}\)