Encontre o ponto do eixo dos X equidistante dos pontos A ( 2,3 ) e B ( 9,4)

Bom vamos chamar o ponto do eixo x de P(0,X) (se esta no eixo x nao passa na ordenada y=0)

se ele é equidistante aos pontos A e B quer dizer que tem mesma distancia.

d(AP)=√(2-0²+3-X²) = d(BP)=√(9-0²+4-X²)

d(AP)=√(2²+3-X²) = d(BP)=√(9²+4-X²)

d(AP)=√(4+3²-6X+X²)       =     d(BP)=√(81+4²-8X+X²)

d(AP)=√(4+9-6X+X²)   =    d(BP)=√(81+16-8X+X²)

agora tem que tirar a raiz,leva tudo ao quadrado

d(AP)=(√(13-6X+X²) )²  =  d(BP)= (√(97-8X+X²) )²

Corta a raiz com o quadrado de fora

13-6X+X²=97-8X+X²

13-6x+x²-97+8x-x²

X2-X2+13-97-6X+8X=

-6X+8X-84=

2X=84

X=84/2

X=42

Espero que te ajude...

Bons estudos!!

Neste exercício, deve-se determinar o ponto no eixo x que seja equidistante dos pontos \(A = (2,3)\) e \(B = (9,4)\). Para isso, supõe-se que o ponto \(P\) do eixo x seja dado por:

\(\Longrightarrow P=(x_P,y_P)\)

Como \(P\) está no ponto x, o valor de \(y_P\) é igual a zero. Portanto, o ponto \(P\) é dado da seguinte forma:

\(\Longrightarrow P=(x_P,0)\)

A distância entre os pontos \(A\) e \(P\) é:

\(\Longrightarrow d_{AP}=\sqrt{ (x_A - x_P)^2 + (y_A - y_P)^2}\)

\(\Longrightarrow d_{AP}=\sqrt{ (2 - x_P)^2 + (3 -0)^2}\)

\(\Longrightarrow d_{AP}=\sqrt{ (2 - x_P)^2 + 9}\)     \((I)\)

A distância entre os pontos \(A\) e \(B\) é:

\(\Longrightarrow d_{BP}=\sqrt{ (x_B - x_P)^2 + (y_B - y_P)^2}\)

\(\Longrightarrow d_{BP}=\sqrt{ (9 - x_P)^2 + (4 - 0)^2}\)

\(\Longrightarrow d_{BP}=\sqrt{ (9 - x_P)^2 + 16}\)     \((II)\)

Pelo enunciado, tem-se que \(d_{AP}=d_{BP}\). Portanto, igualando as equações \((I)\) e \((II)\), o valor de \(x_P\) é:

\(\Longrightarrow d_{AP}=d_{BP}\)

\(\Longrightarrow \sqrt{ (2 - x_P)^2 + 9}=\sqrt{ (9 - x_P)^2 + 16}\)

\(\Longrightarrow (2 - x_P)^2 + 9=(9 - x_P)^2 + 16\)

\(\Longrightarrow (2^2-2\cdot 2x_P + x^2_P)=(9^2-2 \cdot 9x_P + x^2_P) + 7\)

\(\Longrightarrow 4-4x_P +x^2_P = 81 -18x_P +x^2_P+ 7\)

\(\Longrightarrow 4-4x_P = 81 -18x_P + 7\)

\(\Longrightarrow 18x_P-4x_P = 81+7-4\)

\(\Longrightarrow 14x_P = 84\)

\(\Longrightarrow x_P = 6\)

Finalmente, o ponto equidistante dos pontos \(A\) e \(B\) é:

\(\Longrightarrow P=(x_P,0)\)

\(\Longrightarrow \fbox {$ P=(6,0) $}\)