Dê uma base para o subsespaço gerado pelos vetores (1,1,-2,4), (1,1,-1,2) e (1,4,-4,8).

Seja \(V\) um espaço vetorial e seja \(B\) um conjunto de vetores de \(V\). Dizemos que \(B\) é uma base do espaço vetorial de \(V\) se:

1)\(B\)  é linearmente independente (LI);

2) \(B\) gera \(V\)

Assim:

\((x, y, z, w) = a(1, 1, -2, 4)+b(1, 1, -1, 2 )+c(1, 4, -4, 8)\)

\(a(1, 1, -2, 4)+b(1, 1, -1, 2 )+c(1, 4, -4, 8) =0 (LI)\)

\(a+b+c=0\\ a+b+4c=0\\ -2a-b-4c=0\\ 4a+2b+8c=0 \)

Das equações acima, vemos que a única solução para esse sistema é \(a=b=c=d=0\)

Sendo assim, o conjunto é LI e a base procurada é:

\(\boxed{B={(1,1,-2,4), (1,1,-1,2) ,(1,4,-4,8)}}\)