Dado o vetor W=(3,2,5) determinar a e b de modo que os vetores U=(3,2,-1) e V=(a,6,b)+2W sejam paralelos.

O produto vetorial entre dois vetores paralelos é nulo. É só montar o sistema resultante do produto vetorial entre U e V e resolver. Bastam duas equações, mas é possível confirmar os valores com a terceira.

[2*(b+10)] - [(-1)*(10)] = 0

[(-1)*(a+6)] - [3*(b+10)] = 0

3*10 - 2*(a+6) = 0

a = 9, b = -15

Também dá pra fazer se voce pensar que [U] e [V+2W] são linearmente dependentes. determinando a segunda componente de [V+2W], temos que [V+2W] = 5*U. Assim:

a+2*3 = 5*3

6+2*2 = 5*2

b+2*5 = 5*(-1)

a = 9, b = -15

Calculando:

\(\[\begin{align} & w\text{ }=\text{ }(3,\text{ }2,\text{ }5) \\ & u\text{ }=\text{ }\left( 3,\text{ }2,\text{ }-1 \right)~ \\ & v\text{ }=\text{ }\left( a,\text{ }6,\text{ }b \right)\text{ }+\text{ }2w~ \\ & v\text{ }=\text{ }\left( a,\text{ }6,\text{ }b \right)\text{ }+\text{ }2\left( 3,2,5 \right)~ \\ & v\text{ }=\text{ }\left( a,\text{ }6,\text{ }b \right)\text{ }+\text{ }\left( 6,4,10 \right) \\ & v=((a+6);(6+4);(b+10) \\ & v=((a+6);(10);(b+10)) \\ \end{align}\] \)

U é proporcional à V, logo:

\(\[\begin{align} & \frac{3}{a+6} \\ & \frac{2}{10}\to \frac{-1}{b+10} \\ & \\ & \frac{3}{a+6}=\frac{2}{10} \\ & 3*10=2*(a+6) \\ & 30=2a+12 \\ & 30-12=2a \\ & 18=2a \\ & \frac{18}{2}=a \\ & a=9 \\ \end{align}\] \)

Continuando:

\(\[\begin{align} & \frac{2}{10}=\frac{-1}{b+10} \\ & 2(b+10)=10*-1 \\ & 2b+20=-10 \\ & 2b=-10-20 \\ & 2b=-30 \\ & b=\frac{-30}{2} \\ & b=-15 \\ & \frac{3}{9+6}\to \frac{3}{15}\to \frac{1}{5}\to \frac{2}{10}\to \frac{1}{5}\frac{-1}{-15+10}\to \frac{-1}{-5}\to \frac{1}{5} \\ \end{align}\] \)

Portanto,

a = 9

b = -15