Determinar o valor de m para que o vetor g=(0, 25, m) seja simultaneamente ortogonal aos vetores e=(4, 3, 5) e f=(1, -3, -5).

Para que G seja simultaneamente ontogonal a E e F basta fazer o produto misto dos 3 vetores e igualar a zero.

| 0  25  m |

| 4   3   5  |  = 0 ;

| 1  -3  -4  |

Resolvendo isso têm-se m = 25.

Para resolver este problema, devemos colocar em prática os conceitos de ortogonalidade de vetores.

Neste contextos, diz-se que dois vetores, \(v_1\) e \(v_2\), são ortogonais quando o produto escalar entre eles é nulo. Isto é, sendo \(v_1=(a,b,c)\) e \(v_2=(d,e,f)\) vetores ortogonais, então:

 \(\begin{align} <v_1; v_2>&=<(a,b,c);(d,e,f)> \\&=a\cdot d+b \cdot e +c \cdot f \\&=0 \end{align}\)

Desta forma, para que o vetor \(g=(0,25,m)\) seja ortogonal aos vetores \(e=(4,3,5)\) e \(f=(1,-3,-5)\), o produto escalar entre eles deve ser nulo. Logo:

\(\begin{align} <g;\text{ } e>&=<(0,25,m);(4,3,5)> \\&=0\cdot 4+25 \cdot 3 +m \cdot 5 \\&=0+75+5\cdot m \end{align}\)

Isolando \(m\), vem que:\(\begin{align} m&=\dfrac{-75}{5} \\&=-15 \end{align} \)

Analogamente:

\(\begin{align} <g;\text{ } f>&=<(0,25,m);(1,-3,-5)> \\&=0\cdot 1+25 \cdot( -3) +m \cdot(- 5) \\&=0-75-5\cdot m \end{align}\)

Isolando \(m\), vem que:\(\begin{align} m&=\dfrac{75}{-5} \\&=-15 \end{align} \)

Portanto, para que o vetor \(g\) seja simultaneamente ortogonal aos vetores \(e\) e \(f\), é necessário que \(m\) seja igual a \(\boxed{-15}\).