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Integral de xarctan (x)dx


1 resposta(s) - Contém resposta de Especialista

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Há mais de um mês

Será resolvida a seguinte integral:

\(\Longrightarrow \int x \arctan x \, dx\)


Será utilizado o método da integral por partes. Sendo \(u = \arctan x\) e \(dv = x \, dx\), tem-se o seguinte:

\(\Longrightarrow \left \{ \begin{matrix} {du \over dx} = {d \over dx}(\arctan x ) \\ v = \int x \, dx \end{matrix} \right.\)   \(\rightarrow \left \{ \begin{matrix} {du \over dx} = {1 \over 1 +x^2} \\ v = {1 \over 2}x^2 \end{matrix} \right.\)    \(\rightarrow \left \{ \begin{matrix} du = {1 \over 1 +x^2}dx \\ v = {1 \over 2}x^2 \end{matrix} \right.\)


Com isso, tem-se a seguinte equação:

\(\Longrightarrow \int u \, dv = uv - \int v \, du\)

\(\Longrightarrow \int \arctan x \, (x \, dx) = \arctan x\cdot {1 \over 2}x^2 - \int {1 \over 2}x^2 \, {1 \over 1+x^2}dx\)

\(\Longrightarrow \int x \arctan x \, dx = {1 \over 2}x^2\arctan x - {1 \over 2}\int {x^2 \over 1+x^2}dx\)

\(\Longrightarrow \int x \arctan x \, dx = {1 \over 2}x^2\arctan x - {1 \over 2}\int {1+x^2-1 \over 1+x^2}dx\)


Com isso, o resultado final é:

\(\Longrightarrow \int x \arctan x \, dx = {1 \over 2}x^2\arctan x - {1 \over 2} \Big [ \int (1- {1 \over 1+x^2})dx \Big ] \)

\(\Longrightarrow \int x \arctan x \, dx = {1 \over 2}x^2\arctan x - {1 \over 2} (x- \arctan x)\)

\(\Longrightarrow \int x \arctan x \, dx = {1 \over 2}x^2\arctan x - {1 \over 2} x + {1 \over 2} \arctan x\)

\(\Longrightarrow \fbox { $ \int x \arctan x \, dx = {1 \over 2}[(x^2+1)\arctan x - x] $}\)

Será resolvida a seguinte integral:

\(\Longrightarrow \int x \arctan x \, dx\)


Será utilizado o método da integral por partes. Sendo \(u = \arctan x\) e \(dv = x \, dx\), tem-se o seguinte:

\(\Longrightarrow \left \{ \begin{matrix} {du \over dx} = {d \over dx}(\arctan x ) \\ v = \int x \, dx \end{matrix} \right.\)   \(\rightarrow \left \{ \begin{matrix} {du \over dx} = {1 \over 1 +x^2} \\ v = {1 \over 2}x^2 \end{matrix} \right.\)    \(\rightarrow \left \{ \begin{matrix} du = {1 \over 1 +x^2}dx \\ v = {1 \over 2}x^2 \end{matrix} \right.\)


Com isso, tem-se a seguinte equação:

\(\Longrightarrow \int u \, dv = uv - \int v \, du\)

\(\Longrightarrow \int \arctan x \, (x \, dx) = \arctan x\cdot {1 \over 2}x^2 - \int {1 \over 2}x^2 \, {1 \over 1+x^2}dx\)

\(\Longrightarrow \int x \arctan x \, dx = {1 \over 2}x^2\arctan x - {1 \over 2}\int {x^2 \over 1+x^2}dx\)

\(\Longrightarrow \int x \arctan x \, dx = {1 \over 2}x^2\arctan x - {1 \over 2}\int {1+x^2-1 \over 1+x^2}dx\)


Com isso, o resultado final é:

\(\Longrightarrow \int x \arctan x \, dx = {1 \over 2}x^2\arctan x - {1 \over 2} \Big [ \int (1- {1 \over 1+x^2})dx \Big ] \)

\(\Longrightarrow \int x \arctan x \, dx = {1 \over 2}x^2\arctan x - {1 \over 2} (x- \arctan x)\)

\(\Longrightarrow \int x \arctan x \, dx = {1 \over 2}x^2\arctan x - {1 \over 2} x + {1 \over 2} \arctan x\)

\(\Longrightarrow \fbox { $ \int x \arctan x \, dx = {1 \over 2}[(x^2+1)\arctan x - x] $}\)

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Rodrigo

Há mais de um mês

Use integral por partes , fazendo : 
u=arctan(x) e v'=x ;

Essa pergunta já foi respondida por um dos nossos especialistas