Em geometria analítica como verifico se três vetores são perpendiculares, quando possuem três coordenadas?

Calcule o produto escalar entre os 3 vetores. Se o resultado for zero, os vetores são perpendiculares entre si.

Para resolver este problema, devemos colocar em prática nossos conhecimentos sobre Cálculo Vetorial e Geometria Analítica, em especial sobre operações com vetores.

Neste contexto, dado dois vetores \(u=(x_1,y_1)\) e \(v=(x_2,y_2)\):

\(\begin{align} |u|&=\sqrt{x_1^2+y_1^2} \\<u,v>&=x_1\cdot x_2 + y_1\cdot y_2 \\<u,v>&=\cos \theta\cdot |u|\cdot |v| \end{align}\)

em que \(|u|\) é o comprimento do vetor \(u\), também chamado de norma de \(u\) ou módulo de \(u\); e \(<u,v>\) o produto interno entre \(u\) e \(v\), que relaciona o ângulo entre os vetores, \(\theta\), com o seu comprimento.

Tendo tais definições em mente, isolando \(\cos \theta\), encontra-se que:

\(\begin{align} \cos \theta = \dfrac{<u,v>}{|u|\cdot |v|} \end{align}\)

Neste contexto, observando a equação acima, conclui-se que \(\theta =90°\Leftrightarrow\text{ } <u,v>=0\).

Portanto, no problema em questão, sejam \(u=(x_1,y_1,z_1)\), \(v=(x_2,y_2,z_2)\) e \(w=(x_3,y_3,z_3)\) três vetores com três coordenadas. Os mesmos serão perpendiculares entre si, se e somente se :

\(\begin{align} <u,v>&=x_1\cdot x_2 + y_1\cdot y_2 + z_1 \cdot z_2 \\&=0 \\ <v,w>&=x_2\cdot x_3 + y_2\cdot y_3 + z_2 \cdot z_3 \\&=0 \\ <w,u>&=x_3\cdot x_1 + y_3\cdot y_1 + z_3 \cdot z_1 \\&=0 \end{align}\).