E possıvel existir uma transformacao linear injetora T : R3 −→ R2 ? Por que?

Para resolver esse exercício vamos, inicialmente relembrar o conceito de função injetora. Em uma função injetora, também chamada injetiva, para dois elementos distintos do domínio, teremos equivalentes também distintos na imagem. Matematicamente, podemos escrever:

\(x_1\neq x_2\Rightarrow f(x_1)\neq f(x_2)\)

Dessa forma, como o contra-domínio sempre contém a imagem, o número de elementos do contra-domínio deve ser maior ou igual ao número de elementos do domínio. Vamos agorar lembrar a definição de cada um dos conjuntos dados no enunciado:

\(\mathbb{R}^3=\mathbb{R}\times\mathbb{R}\times\mathbb{R}\\ \mathbb{R}^2=\mathbb{R}\times\mathbb{R}\)

Lembremos ainda que a cardinalidade de um produto cartesiano é dado pelo produto das cardinalidades de cada um deles. Dessa forma a cardinalidade do nosso domínio é maior que a cardinalidade do nosso contra-domínio, o que é contra a definição de função injetora, como vimos acima.

Logo é impossıvel existir uma transformacao linear \(T:\mathbb{R}^3\rightarrow\mathbb{R}^2\) injetora.

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