4. Mostre que os pontos médios dos lados de um quadrilátero qualquer são vértices de um paralelogramo.

Considere um quadrilatero qualquer, isto é, com os lados todos desiguais (que é o caso mais geral) 
Construa uma das duas diagonais( D). 

Divida os 4 lados ao meio e una os pontos médios de um mesmo lado da diagonal (D). teremos dois segmentos (d' e d"). 

Observando os triangulos que têm a diagonal (D) em comum, podemos dizer, pelo---> "teorema de Tales"-, que os segmentos d' e d" são paralelos a (D) e valem cada um a metade de (D). 
O mesmo pode ser feito com a outra diagonal e teremos novos segmentos (d"' e d"") iguais e paralelos. 
Portanto, tendo o quadrilátero d',d" paralelos e iguais e os outros dois lados d'" e d"" também, conclui-se pela exatidão do teorema.

Solução. Seja ABDC um quadrilátero qualquer e sejam X, Y, W e Z os pontos médios dos lados AC, CD, DB e BA, respectivamente. Devemos mostrar que XYWZ é um paralelogramo (figura 3). Temos: --------------→ XY = --------------→ XC + -------------→ CY = -------------→ AC 2 + --------------→ CD 2 = 1 2  -------------→ AC + --------------→ CD  = 1 2 --------------→ AD , ----------------→ ZW = ------------→ ZB + ---------------→ BW = ------------→ AB 2 + -------------→ BD 2 = 1 2  ------------→ AB + -------------→ BD  = 1 2 --------------→ AD . Logo --------------→ XY = 1 2 --------------→ AD = ----------------→ ZW . Então XY ≡ ZW , e portanto, XY ZW é um paralelogramo.

Bela solução aco que seria melhor dizer que cada lado que liga os pontos médios é a base média do triângulo de lados diagonal e dois lados do quadrilátero logo vale a metade e são paralelos logo lados opostos parelelos e congruentes