Dada a função horária de um movimento retilíneo s = f(t) = 2t 2 – t, determine a distância em km percorrida e a velocidade em km/h ao fim de 5 h.

Bom dia!

Para determinarmos a distância percorrida temos que, primeiramente, saber qual o 'sentido' do movimento.

A função f(t)=2t²-t nos entrega a posição do objeto a cada instante t.

Então, a derivada desta função nos dá a velocidade instantânea no instante t.

v(t)=f'(t)=4t-1

Veja que a velocidade será zero no instante 4t-1=0, t=1/4h

E, como a equação da velocidade é uma reta crescente teremos:

t<1/4, v(t)<0, movimento retrógrado (sentido contrário ao do eixo t)

t=1/4, v(t)=0, objeto parado.

t>1/4, v(t)>0, movimento progressivo (mesmo sentido ao do eixo t)

Então, podemos calcular o deslocamento da seguinte forma: Ao substituir o tempo 't' na equação da função horária teremos a posição do móvel neste instante específico. Sabemos que de 0 a 1/4h o móvel anda no sentido contrário ao eixo t, e de 1/4 a 5 anda no mesmo sentido. Teremos que calcular o deslocamento para cada uma destas situações e somá-las.

f(t)=2t²-t

f(0)=2(0)²-0=0

f(1/4)=2(1/4)²-(1/4)=1/8-1/4=-1/8km

f(5)=2(5)²-5=50-5=45km

Teremos, então, os seguintes deslocamentos:

De f(0) a f(1/4), |-1/8-0|=|-1/8|=1/8=0,125km

De f(1/4) a f(5), |45-(-1/8)|=|45+1/8|=361/8=45,125km

A distância percorrida, então, será de 1/8+361/8=362/8=181/4=45,25km

A velocidade será de 

v(t)=4t-1

v(5)=4(5)-1=19km/h

Espero ter ajudado

A função de movimento retilíneo, para \(t\) em horas, é:

\(\Longrightarrow f(t) = 2t^2-t\)

A distância \(d\) percorrida após 5 horas se dá pela seguinte equação:

\(\Longrightarrow d = f(5) - f(0)\)

Portanto, o valor de \(d\) é:

\(\Longrightarrow d = (2\cdot 5^2 - 5) - (2 \cdot 0^2 -0 )\)

\(\Longrightarrow d = (2\cdot 25 - 5) - 0\)

\(\Longrightarrow \fbox {$ d = 45 \space \mathrm {km} $}\)

E a velocidade em \(t=5\, \mathrm {h}\) é:

\(\longrightarrow v_{5\mathrm{h}} = {df(t) \over dt} \bigg |_{t=5}\)

\(\longrightarrow v_{5\mathrm{h}} = {d \over dt}(2t^2-t) \bigg |_{t=5}\)

\(\longrightarrow v_{5\mathrm{h}} = (2\cdot 2t-1) \bigg |_{t=5}\)

\(\longrightarrow v_{5\mathrm{h}} = (4t-1) \bigg |_{t=5}\)

\(\longrightarrow v_{5\mathrm{h}} = 4\cdot 5-1\)

\(\longrightarrow \fbox {$ v_{5\mathrm{h}} = 19 \space \mathrm{km/h} $}\)