A reta 8x - y + 3 = 0 é paralela a reta (r) tangente ao gráfico da curva y = 2x2 + 3. Podemos, então, afirmar que a equação da reta (r) é dada por:

O coeficiente angular da reta \(8x-y+3=0\) é:

\(\Longrightarrow y=8x+3\)

\(\Longrightarrow \underline { a=8 }\)

Como a reta \(r\) é paralela à reta \(8x-y+3=0\), o coeficiente angular de \(r\) é:

\(\Longrightarrow a_r=a\)

\(\Longrightarrow a_r=8\)    \((I)\)

Portanto, o formato da equação da reta \(r\) é:

\(\Longrightarrow y_r = a_r\cdot x+b_r\)

\(\Longrightarrow y_r = 8 x+b_r\)

Em um ponto \((x,y)\) da curva \(y=2x^2+3\), a inclinação da reta tangente correspondente é:

\(\Longrightarrow { \partial y \over \partial x} = { \partial \over \partial x}(2x^2+3)\)

\(\Longrightarrow { \partial y \over \partial x} = 4x\)       \((II)\)

As equações \((I)\) e \((II)\) correspondem à mesma coisa. Portanto, o valor da coordenada \(x\) é:

\(\Longrightarrow { \partial y \over \partial x} =a_r\)

\(\Longrightarrow 4x=8\)

\(\Longrightarrow \underline { x=2 }\)

E a coordenada \(y\) é:

\(\Longrightarrow y=2\cdot (2)^2+3\)

\(\Longrightarrow \underline { y=11 }\)

Portanto, a reta \(r\) tangencia a curva \(y=2x^2+3\) no ponto \((2,11)\).

Substituindo o ponto \((2,11)\) na equação de \(y_r\), o valor de \(b_r\) é:

\(\Longrightarrow 11 = 8 \cdot 2+b_r\)

\(\Longrightarrow b_r=11-16\)

\(\Longrightarrow \underline { b_r=-5}\)

Finalmente, a equação completa da reta \(r\) é:

\(\Longrightarrow y_r = 8 x-5\)

\(\Longrightarrow \fbox {$ 8 x-y_r-5=0 $}\)