integrais impróprias

Converge para pi/2 e a integral do módulo diverge

Existe mais de uma forma de resolução. Uma das mais simples envolve recorrer à seguinte equivalência:

\(\frac{1}{x} = \int_0^{\infty} e^{-xt}{dt}\)

Logo, teremos a seguinte equivalência para nossa expressão:

\(\int_0^{\infty} \frac{\sin x}{x} dx = \int_0^{\infty} \int_0^{\infty} \sin x e^{-xt} dx dt\)

Logo, teremos:

\(\int_0^{\infty} \frac{\sin x}{x} dx = \int_0^{\infty} \int_0^{\infty} \sin x e^{-xt} dx dt\)

Assim:

\(\int_0^{\infty} \left( \int_0^{\infty} \sin x e^{-xt} dx \right) dt = \int_0^{\infty} [\frac{e^{-xt} (t \sin x + \cos x)}{t^2 + 1}]_0^{\infty} dt \\ \int_0^{\infty} \left( \int_0^{\infty} \sin x e^{-xt} dx \right) dt = \int_0^{\infty} \frac{1}{t^2 + 1} dt \\ \int_0^{\infty} \left( \int_0^{\infty} \sin x e^{-xt} dx \right) dt = [\arctan t]_0^{\infty} \\ \boxed{\therefore \int_0^{\infty} \frac{\sin x}{x} dx = \frac{\pi}{2}}\)

Logo, a integral converge.