Problema de Distância Mega Simples

Bom dia!

Para calcular a distância entre um ponto e um plano façamos o seguinte:

Arbitre um ponto qualquer do plano Po e monte o vetor PoP.

Colocando x=0 e z=0, temos: 2y-2=0, então, y=1

Portanto, o ponto Po(0,1,0) é um ponto do plano.

Vetor PoP=(2-0,-3-1,5-0)=(2,-4,5)

Agora, calcule a projeção de PoP sobre o vetor normal do plano: n=(3,2,6)

Projeção de PoP sobre n (em módulo) = |PoP.n|/|n|=|(2,-4,5).(3,2,6)|/|(3,2,6)|

|2x3+(-4)x2+5x6|/√(3²+2²+6²)=|6-8+30|/√(9+4+36)=28/√49=28/7=4

Espero ter ajudado!

A fórmula da distância de um ponto a um plano é:

\(d= \frac{|ax + by + cz + d|}{ |\sqrt{a^2+b^2+c^2} |} \)

onde

a, b, csão os vetores diretores do plano

x, y, z o ponto dado

 d o termo independente

Assim

\(d= \frac{|ax + by + cz + d|}{ |\sqrt{a^2+b^2+c^2} |} \\ d= \frac{|3.2 + 2(-3) + 6.5 + (-2)|}{ |\sqrt{(3)^2+(2)^2+(6)^2} |}\\ d= \frac{|6 -6 + 30 -2|}{ |\sqrt{49} |}\\ d=\frac{28}{7}\\ d=4\)

Portanto, a distância é \(\boxed{d=4}\)