Resolva a equação diferencial y'(x) = xy por separação de variáveis.

Nesse exercício vamos resolver a seguinte equação diferencial por separação de variáveis:

$$y’(x)=xy$$

Vamos reescrever a equação na notação de Leibniz:

$$\dfrac{dy}{dx}=xy$$

Reescrevendo:

$$\dfrac{dy}{y}=xdx$$

Integrando os dois lados:

$$\ln{y}=\dfrac{x^2}{2}+C$$

Exponenciando:

$$y(x)=e^{x^2/2+C}= e^Ce^{x^2/2}$$

Finalmente, fazendo $A=e^C$:

$$\boxed{y(x)=Ae^{x^2/2}}$$

Nesse exercício vamos resolver a seguinte equação diferencial por separação de variáveis:

$$y’(x)=xy$$

Vamos reescrever a equação na notação de Leibniz:

$$\dfrac{dy}{dx}=xy$$

Reescrevendo:

$$\dfrac{dy}{y}=xdx$$

Integrando os dois lados:

$$\ln{y}=\dfrac{x^2}{2}+C$$

Exponenciando:

$$y(x)=e^{x^2/2+C}= e^Ce^{x^2/2}$$

Finalmente, fazendo $A=e^C$:

$$\boxed{y(x)=Ae^{x^2/2}}$$