Dados os vetores u e v, qual é o módulo do vetor u + v?

A fórmula do módulo (comprimento) do vetor é:

\(\begin{vmatrix} \vec{v} \end{vmatrix}= \sqrt{x^2+y^2+z^2}\)

Vamos estabelecer os vetores primeiro:

\(\vec{v}=(x_1,y_1,z_1)\\ \vec{u}=(x_2,y_2,z_2)\)

Se você estiver somando ambos, ficará assim:

\(\begin{vmatrix} \vec{v}+\vec{u} \end{vmatrix}= \sqrt{(x_1+x_2)^2+(y_1+y_2)^2+(z_1+z_2)^2}\)

\[|\vec v|=\sqrt{\sum\limits_ix_i^2}\]

Mas essa expressão pode ser reescrita usando produto escalar:

\[|\vec v|=\sqrt{\vec v\cdot \vec v}\]

Dessa forma podemos usar essa expressão de produto escalar para determinar o módulo da soma:

\[|\vec u+\vec v|=\sqrt{(\vec u+\vec v)\cdot(\vec u+\vec v)}\]

Usando a propriedade distributiva, temos:

\[|\vec u+\vec v|=\sqrt{\vec u\cdot\vec u+2\vec u\cdot\vec v+\vec v\cdot\vec v}\]

Para simplificar a notação, podemos reescrever como:

\[\boxed{|\vec u+\vec v|=\sqrt{\vec u^2+2\vec u\cdot\vec v+\vec v^2}}\]