Calcule a distancia entre o ponto P e a reta r em cada caso ? a) P(1,2) e (r)2x-3y+1=0 b)P(-2,-5) e (r)x+2y-3=0

Dado um ponto \(P\left( {{x_0},{y_0}} \right)\) e uma reta \(r:ax + by + c = 0\), a distância entre \(P\) e \(r\) pode ser calculada por:

\[{d_{P,r}} = \dfrac{{\left| {a{x_0} + b{y_0} + c} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\]

Do enunciado, temos que \(P\left( {1,2} \right)\) e \(r:2x + 3y + 1 = 0\). Substituindo na fórmula, vamos obter:

\[\eqalign{ {d_{P,r}} &= \dfrac{{\left| {2 \cdot 1 + 3 \cdot 2 + 1} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {3^2}} }}\cr&= \dfrac{{\left| 9 \right|}}{{\sqrt {13} }}\cr&= \dfrac{{9\sqrt {13} }}{{13}} }\]

Portanto, temos que \(\boxed{{d_{P,r}} = \dfrac{{9\sqrt {13} }}{{13}}}\).

b)

Analogamente, para o item b), temos \(P\left( { - 2, - 5} \right)\) e \(r:x + 2y - 3 = 0\). Substituindo na fórmula:

\[\eqalign{ {d_{P,r}} &= \dfrac{{\left| {1 \cdot \left( { - 2} \right) + 2 \cdot \left( { - 5} \right) - 3} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2}} }}\cr&= \dfrac{{\left| { - 15} \right|}}{{\sqrt 5 }}\cr&= \dfrac{{15\sqrt 5 }}{5}\cr&= 3\sqrt 5 }\]

Portanto, temos que \(\boxed{{d_{P,r}} = 3\sqrt 5 }\).

Distancia de ponto a reta é:
D = (|AXo + BYo + C|)/√(A² + B²)

Xo e Yo são as coordenadas do ponto P, e A, B e C são os coeficientes da reta.

Logo a letra a fica:

(2 . 1 - 3 . 2 + 1)/√(2² + 3²)

-3/√13 = (-3√13)/13