Considere a transformação linear T: R³ > R² dado por T(x,y,z) = (x-y-z, 2z-x). Determine uma base ortonormal do Núcleo de T.

\[\left( {x{\text{ }} - {\text{ }}y{\text{ }} - {\text{ }}z,{\text{ }}2z{\text{ }} - {\text{ }}x} \right){\text{ }} = {\text{ }}x\left( {1,{\text{ }} - 1} \right){\text{ }} + {\text{ }}y\left( { - 1,{\text{ }}0} \right){\text{ }} + {\text{ }}z\left( { - 1,{\text{ }}2} \right)\]

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Logo, temos que \(Im\left( T \right){\text{ }} = {\text{ }}\left[ {\left( {1,{\text{ }} - 1} \right),\left( { - 1,{\text{ }}0} \right),\left( { - 1,{\text{ }}2} \right)} \right]\) .Escalonando esses geradores da imagem,

como linhas de uma matriz, para obtermos uma base, temos:

\[{\text{ }}{\text{ }}1{\text{ }} - 1{\text{ }} - 1{\text{ }}0{\text{ }} - 1{\text{ }}2{\text{ }}{\text{ }}{\text{ }} \to {\text{ }}{\text{ }}{\text{ }}1{\text{ }} - 1{\text{ }}0{\text{ }} - 1{\text{ }}0{\text{ }}1{\text{ }}{\text{ }}{\text{ }} \to {\text{ }}{\text{ }}{\text{ }}1{\text{ }} - 1{\text{ }}0{\text{ }} - 1{\text{ }}0{\text{ }}0{\text{ }}{\text{ }}{\text{ }}\]

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E, portanto, \({(1, −1),(0, −1)}\) é uma base para \(Im(T)\) e \(dim(Im(T)) = 2 = dim(R2)\). Como

Im(T) é um subespaço do R2 e tem a mesma dimensão que R2, concluímos que \(Im(T) = R2\).

.