Calcule a integral tripla. olimitado pelo cilindro y2+z2=9y2+z2=9 e pelos planos x=0x=0, y=3xy=3x e z=0z=0 no primeiro octante.

Limites de x: entre os planos x = 0 e y = 3x. Ou seja, entre x = 0 e x = y/3.

-> 0 ≤ x ≤ y/3

Integral tripla:

-> V = ∫∫∫ dV

-> V = ∫∫∫ dx dA

-> V = ∫∫ x dA

-> V = ∫∫ (y/3 - 0) dA

-> V = 1/3 ∫∫ y dA

Considerando o cilindro y^2 + z^2 = 9 = 3^2, aplica-se coordenadas cilíndricas. Portanto, tem-se y = rcosθ, z = rsenθ, 0 ≤ r ≤ 3, 0 ≤ θ ≤ π/2 (primeiro octante) e dA = r dr dθ. Substituindo na integral:

-> V = 1/3 ∫∫ y dA

-> V = 1/3 ∫∫ rcosθ*r dr dθ

-> V = 1/3 ∫∫ r^2 cosθ dr dθ

-> V = 1/3 ∫ cosθ dθ ∫ r^2 dr

-> V = 1/3 [ senθ ] [ r^3/3 ]

-> V = 1/9 [ senθ ] [ r^3 ]

Com 0 ≤ r ≤ 3 e 0 ≤ θ ≤ π/2 (primeiro octante):

-> V = 1/9 [ senπ/2 - sen0 ] [ 3^3 - 0^3 ]

-> V = 1/9 [ 1 - 0 ] [ 27 - 0 ]

-> V = 27/9

-> V = 3

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