sejam os subespaços W1 = {(x, y, z) / ER³| x-2y+z = 0} W2 = {(x,y,z) E R³ | x+2y + 5z =0} Verifique se a soma W1 + W2 é soma direta

Para que W1 + W2 seja uma soma direta, devemos mostrar que: W1∩W2 = {(0,0,0)}, onde 0 = (0,0,0) vetor nulo.

Seja o vetor w = (x, y, z) tal que w∈W1∩W2.

Se w∈W1∩W2, então w∈W1 e w∈W2:

w∈W1 então de x-2y + z = 0 ⇒ x = 2y-z

w∈W2 então de x + 2y + 5z = 0 ⇒ x = -2y-5z

resolvemos o sistema x = 2y-z

x = -2y-5z

⇒ 2x = -6z ⇒ x = -3z. Também 0 = 4y + 4z ⇒ y = -z

então o conjunto de soluções é: -x = -3z; y = -z; z = z

O vetor w = (- 3z, -z, z) = z (-3, -1, 1), z∈R

Como podemos ver, o vetor w não pertence à interseção de W1 e W2 e w não é o vetor nulo (0,0,0).

então W1 + W2 não é soma direta