hiperbole

Equação geral da hipérbole de centro (x0, y0) e constantes 'a' e 'b':

-> (x - x0)²/a² - (y - y0)²/b² = 1

Portanto, suas assíntotas são:

-> y - y0 = ± (b/a) (x - x0)

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1) Cálculo do centro (x0, y0):

As assíntotas de uma hipérbole se intercedem no centro da mesma. Com assíntotas y = 2x e y = - 2x, a interseção correspondente é o ponto (0, 0). Portanto, o centro da hipérbole é:

-> (x0, y0) = (0, 0)

Portanto, a equação geral da hipérbole fica da seguinte forma:

-> x²/a² - y²/b² = 1

Portanto, suas assíntotas são:

-> y = ± (b/a) x

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2) Cálculo de 'a²' e 'b²':

Pelas assíntotas y = ± (b/a) x = ± 2x, tem-se b/a = 2, ou:

-> b = 2a

Substituindo o ponto (x1, y1) = (2, 1) em x²/a² - y²/b² = 1, tem-se o seguinte:

-> x1²/a² - y1²/b² = 1

-> 2²/a² - 1²/b² = 1

-> 4/a² - 1/b² = 1

Multiplicando os dois lados da equação por a²b²:

-> 4b² - a² = a²b²

Substituindo b = 2a, o valor de 'a²' é:

-> 4.(2a)² - a² = a².(2a)²

-> 4.4a² - a² = a².4a²

-> 4.4 - 1 = 4a²

-> 16 - 1 = 4a²

-> 15 = 4a²

-> a² = 15/4

-> a² = 3,75

Portanto, com b = 2a, o valor de 'b²' é:

-> b² = 4a²

-> b² = 4.3,75

-> b² = 15

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Substituindo os valores a² = 3,75 e b² = 15 na equação geral da hipérbole, a equação completa fica da seguinte forma:

-> x²/a² - y²/b² = 1

-> x²/3,75 - y²/15 = 1

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Solução: x²/3,75 - y²/15 = 1.

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