Obtenha a solução particular da equação diferencial u + (2v+u)v' = 0 sabendo que (1) = 1:

Para resolver essa equação diferencial, podemos usar o método de separação de variáveis. Vamos começar reescrevendo a equação: u + (2v + u)v' = 0 Agora, vamos separar as variáveis u e v: u + 2vv' + uv' = 0 Agora, vamos agrupar os termos com v' e os termos com v: (2v + u)v' = -u Dividindo ambos os lados por (2v + u), obtemos: v' = -u / (2v + u) Agora, podemos resolver essa equação diferencial separando as variáveis e integrando ambos os lados: ∫(1/v) dv = ∫(-u / (2v + u)) du Integrando, obtemos: ln|v| = -ln|2v + u| + C Aplicando a propriedade do logaritmo, podemos reescrever a equação como: ln|v| + ln|2v + u| = C Agora, vamos usar a condição inicial (1) = 1 para encontrar o valor de C. Substituindo u = 1 e v = 1 na equação, obtemos: ln|1| + ln|2 + 1| = C Simplificando, temos: ln(1) + ln(3) = C ln(3) = C Portanto, a solução particular da equação diferencial é: ln|v| + ln|2v + u| = ln(3)