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CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I GABARITO DAS AUTOATIVIDADES – UNIDADE 1 – TÓPICO 1 QUESTÃO 01. Usamos o limite para descrever o comportamento de uma função à medida que o argumento da função tende a um determinado valor. O conceito de limite é usado para definir outros conceitos, como derivada e continuidade de funções. Analise as afirmações abaixo e classifique-as em verdadeiro (V) ou falso (F). a) ( ) O limite de uma função da forma f (x) = ax + b, quando x tende para 0 é b Resolução: (V) Verdadeiro, pois lim 𝑥→0 𝑎𝑥 + 𝑏 = 𝑎 ∙ 0 + 𝑏 = 0. b) ( ) Do Teorema do Confronto, podemos concluir que se lim 𝑥→𝑎 𝑓(𝑥) = 0 elim 𝑥→𝑎 𝑔(𝑥) = ∞, então lim 𝑥→𝑎 𝑓(𝑥) ∙ 𝑔(𝑥) = 0 Resolução: (F) Falso, pois 𝑔(𝑥) deve ser uma função limitada, logo lim 𝑥→𝑎 𝑔(𝑥) ≠ ∞. c) ( ) Quando calculamos limites, podemos encontrar indeterminações, uma indeterminação representa um único valor real. Resolução: (F) Falso, uma indeterminação não representa um único valor. d) ( ) Se lim 𝑥→𝑎 𝑓(𝑥) = 𝐿1 e lim 𝑥→𝑎 𝑓(𝑥) = 𝐿2, então lim 𝑥→𝑎 𝑓(𝑥) 𝑔(𝑥) = 𝐿1 𝐿2 , para qualquer 𝐿1 e 𝐿2. Resolução: (F) Falso, como estamos trabalhando com uma função racional lim 𝑥→𝑎 𝑔(𝑥) = 𝐿2 ≠ 0. QUESTÃO 02. Determine os pontos de acumulação dos conjuntos abaixo: a) 𝐴 = (−∞, 3) Resolução: 𝐴′ = (−∞, 3] Todo ponto de A é um ponto de acumulação já que, se 𝑥 ∈ 𝐴, então para o intervalo (𝑥 − 𝜀, 𝑥 + 𝜀) com 𝜀 < 𝑥 − 3, o ponto 𝑥 = 𝑥 − 𝜀 2 ∈ 𝐴. b) 𝐵 = {1 + 1 𝑛2 ; 𝑛 ∈ ℕ} Resolução: 𝐵 = {1 + 1 𝑛² , 𝑛 ∈ ℕ} 1 ⃛ 1 + 1 4 ̇ 2̇ O único ponto de acumulação é o 1. c) C um conjunto finito Resolução: C um conjunto finito. O conjunto finito não tem ponto de acumulação, pois à distância entre dois pontos é fixo. QUESTÃO 03. Mostre, usando a definição de limite, que 𝑙𝑖𝑚 𝑥→2 𝑥2 − 3𝑥 + 2 5𝑥 − 1 = 0 Resolução: lim 𝑥→2 𝑥2 − 3𝑥 + 2 5𝑥 − 1 = 0 Dado 𝜀 > 0, vamos encontrar 𝛿 > 0 tal que |𝑥 − 2| < 𝛿 então | 𝑥2 ± 3𝑥 + 2 5𝑥 − 1 | ≤ 𝜀 Como x está próximo de 2, podemos considerar que 1 ≤ 𝑥 ≤ 3 logo 4 ≤ 5𝑥 − 1 ≤ 14 Note que 𝑥2 − 3𝑥 + 2 = (𝑥 − 2)(𝑥 − 1) e 0 ≤ 𝑥 − 1 ≤ 2 se 1 ≤ 𝑥 ≤ 3, Assim | 𝑥2 ± 3𝑥 + 2 5𝑥 − 1 − 0| ≤ |𝑥 − 1| ∙ |𝑥 − 2| |5𝑥 − 1| ≤ 2 4 |𝑥 − 2| ≤ 𝛿 2 < 𝜀 Se 𝛿 = 2𝜀 QUESTÃO 04. Prove, usando a definição de limite, que se lim 𝑥→𝑎 𝑓(𝑥) = 𝐿, então lim 𝑥→𝑎 (𝑓(𝑥) − 𝐿) = 0 Resolução: Como lim 𝑥→𝑎 𝑓(𝑥) = 𝐿 temos que para todo 𝜀 > 0 existe 𝛿 > 0 tal que |𝑓(𝑥) − 𝐿| < 𝜀 se |𝑥 − 𝑎| < 𝛿, logo a função 𝑔(𝑥) = 𝑓(𝑥) − 𝐿 converge para O, ou seja, lim 𝑥→𝑎 𝑓(𝑥) − 𝐿 = 0 QUESTÃO 05. Calcule os limites a seguir: a) lim 𝑥→2 √5 Resolução: lim 𝑥→2 √5 = √5 b) lim 𝑥→−10 3𝑥 + 13 Resolução: lim 𝑥→−10 (3𝑥 + 13) = 3 ∙ (−10) + 13 = 17 c) lim 𝑥→−1 𝑥3 − 7𝑥 + 5 Resolução: lim 𝑥→−1 (𝑥3 − 7𝑥 + 5) = (−1)3 − 7 ∙ (−1) + 5 = −1 + 7 + 5 = 11 d) lim ℎ→0 𝑥2 − 3𝑥ℎ Resolução: lim ℎ→0 (𝑥2 − 3𝑥ℎ) = 𝑥2 − 3𝑥 ∙ 0 = 𝑥² e) lim 𝑥→1 𝑥2 + 4𝑥 − 3 𝑥2 + 2 Resolução: lim 𝑥→1 𝑥2 + 4𝑥 − 3 𝑥2 + 2 = 12 + 4 ∙ 1 − 3 12 + 2 = 2 3 f) lim 𝑥→1 √ 4𝑥4 + 2𝑥 − cos (𝜋𝑥) 4𝑥 + 3 Resolução: lim 𝑥→1 √ 4𝑥4 + 2𝑥 − cos (𝜋𝑥) 4𝑥 + 3 = 4 ∙ 14 + 2 ∙ 1 − cos (𝜋 ∙ 1) 4 ∙ 1 + 3 = 7 7 = 1 g) lim 𝑥→1 𝑠𝑒𝑛(𝑒√𝑥 − 𝑒) Resolução: lim 𝑥→1 𝑠𝑒𝑛(𝑒√𝑥 − 𝑒) = 𝑠𝑒𝑛(𝑒√1 − 𝑒) = 𝑠𝑒𝑛(𝑒 − 𝑒) = 𝑠𝑒𝑛(0) = 0 h) lim 𝑥→3 4𝑥 ∙ ln (−16 cos(𝜋𝑥)) Resolução: lim 𝑥→3 4𝑥 ∙ ln(−16 cos(𝜋𝑥)) = 4 ∙ 3 ∙ ln(−16 ∙ cos(𝜋 ∙ 3)) = 12 ∙ ln (16) i) lim 𝑥→−2 2𝑥 − 3 𝑥 − 2 Resolução: lim 𝑥→2 2𝑥 − 3 𝑥 − 2 = 2(−2) − 3 −2 − 2 = −7 −4 = 7 4 j) lim 𝑥→0 √𝑠𝑒𝑛²(3𝑥) 3 Resolução: lim 𝑥→0 √𝑠𝑒𝑛²(3𝑥) 3 = √𝑠𝑒𝑛²(3 ∙ 0) 3 = √𝑠𝑒𝑛²(0) 3 = √0 3 = 0 QUESTÃO 06. Usando o Teorema do Confronto e da Função Limitada, calcule os limites: a) lim 𝑥→1 ( 𝑥 − 1 1 − 3𝑥 ) ∙ 𝑐𝑜𝑠 ( 1 1 − 𝑥 ) Resolução: Como − 1 ≤ 𝑐𝑜𝑠 ( 1 1 − 𝑥 ) ≤ 1 multiplicando por ( 𝑥 − 1 1 − 3𝑥 ) -1 -1 Observação: Perceba que ( 𝑥 − 1 1 − 3𝑥 ) for positivo ou negativo, não haverá diferença. − ( 𝑥 − 1 1 − 3𝑥 ) ≤ ( 𝑥 − 1 1 − 3𝑥 ) ∙ 𝑐𝑜𝑠 ( 1 1 − 𝑥 ) ≤ ( 𝑥 − 1 1 − 3𝑥 ) Como lim 𝑥→1 ( 𝑥 − 1 1 − 3𝑥 ) = lim 𝑥→1 ( 𝑥 − 1 1 − 3𝑥 ) = 0 Logo, pelo Teorema do Confronto: lim 𝑥→1 ( 𝑥 − 1 1 − 3𝑥 ) ∙ 𝑐𝑜𝑠 ( 1 1 − 𝑥 ) = 0 b) lim 𝑥→0 𝑥4𝑠𝑒𝑛 ( 2 𝑥 ) Resolução: Como −1 ≤ 𝑠𝑒𝑛 ( 2 𝑥 ) ≤ 1 Multiplicando por 𝑥4 −𝑥4 ≤ 𝑥4𝑠𝑒𝑛 ( 2 𝑥 ) ≤ 𝑥4 Como lim 𝑥→0 −𝑥4 = lim 𝑥→0 𝑥4 = 0 Logo, pelo Teorema do Confronto lim 𝑥→0 𝑥4𝑠𝑒𝑛 ( 2 𝑥 ) = 0 c) lim 𝑥→−2 𝑓(𝑥), se −1 ≤ 𝑓(𝑥) ≤ 𝑥2 + 2𝑥 + 1 Resolução: Perceba que lim 𝑥→−2 1 = lim 𝑥→−2 (𝑥2 + 2𝑥 + 1) = 1 Logo, pelo Teorema do Confronto lim 𝑥→−2 𝑓(𝑥) = 1 QUESTÃO 07. Calcule o valor dos limites indeterminados: a) lim 𝑥→1 𝑥2 − 1 𝑥 − 1 Resolução: lim 𝑥→1 𝑥2 − 1 𝑥 − 1 = lim 𝑥→1 (𝑥 − 1) ∙ (𝑥 + 1) 𝑥 − 1 = lim 𝑥→1 𝑥 + 1 = 2 b) lim 𝑥→−1 3𝑥2 − 3 𝑥 + 1 Resolução: lim 𝑥→−1 3𝑥2 − 3 𝑥 + 1 = lim 𝑥→−1 3(𝑥2 − 1) 𝑥 + 1 = lim 𝑥→−1 3(𝑥 − 1) ∙ (𝑥 + 1) 𝑥 + 1 = lim 𝑥→−1 3 ∙ (𝑥 − 1) = 3(−1 − 1) = −6 c) lim 𝑥→2 𝑥4 − 16 2𝑥² − 4𝑥 Resolução: lim 𝑥→2 𝑥4 − 16 2𝑥2 − 4𝑥 = lim 𝑥→2 (𝑥2)2 − (22)2 2𝑥 ∙ (𝑥 − 2) = lim 𝑥→2 (𝑥2 − 22) ∙ (𝑥2 + 22) 2𝑥 ∙ (𝑥 − 2) = lim 𝑥→2 (𝑥 − 2) ∙ (𝑥 + 2) ∙ (𝑥2 + 4) 2𝑥 ∙ (𝑥 − 2) = lim 𝑥→2 (𝑥 + 2) ∙ (𝑥2 + 4) 2𝑥 lim 𝑥→2 (2 + 2) ∙ (22 + 4) 2 ∙ 2 = 8 d) lim 𝑥→ 1 3 9𝑥2 − 1 3𝑥 − 1 Resolução: lim 𝑥→1 3⁄ 9𝑥2 − 1 3𝑥 − 1 = lim 𝑥→1 3⁄ 9(𝑥2 − 1 9⁄ ) 3(𝑥 − 1 3⁄ ) = lim 𝑥→1 3⁄ 9 ∙ (𝑥 − 1 3⁄ ) ∙ (𝑥 + 1 3⁄ ) 3 ∙ (𝑥 − 1 3⁄ ) = lim 𝑥→1 3⁄ 3 ∙ (𝑥 + 1 3⁄ ) = 3 ∙ ( 1 3⁄ + 1 3⁄ ) = 2 e) lim 𝑥→1 𝑥3 − 1 𝑥4 + 3𝑥 − 4 Resolução: Sabemos que x = 1 é raiz de ambos os polinômios do numerador e denominador. Usaremos a divisão pelo dispositivo de Briot Rufinni no caso do denominador 1 1 0 0 3 -4 1 1 1 4 0 𝑥3 + 𝑥2 + 𝑥 + 4 Logo 𝑥4 + 3𝑥 − 4 = (𝑥 − 1) ∙ (𝑥3 + 𝑥2 + 𝑥 + 4) lim 𝑥→1 (𝑥 − 1) ∙ (𝑥2 + 𝑥 + 1) (𝑥 − 1) ∙ (𝑥3 + 𝑥2 + 𝑥 + 4) = lim 𝑥→1 𝑥2 + 𝑥 + 1 𝑥3 + 𝑥2 + 𝑥 + 1 = 12 + 1 + 1 13 + 12 + 1 + 4 = 3 7 f) lim 𝑥→16 √𝑥 − 4 𝑥2 − 16 Resolução: lim 𝑥→16 √𝑥 − 4 𝑥2 − 16 ∙ √𝑥 + 4 √𝑥 + 4 = lim 𝑥→16 𝑥 − 16 𝑥 ∙ (𝑥 − 16) ∙ (√𝑥 + 4) = lim 𝑥→16 1 𝑥 ∙ (√𝑥 + 4) = 1 16 ∙ (√16 + 4) = 1 128 g) lim 𝑥→1 √𝑥 − 1 √4𝑥 + 3 − √7 Resolução: lim 𝑥→1 √𝑥 − 1 √4𝑥 + 3 − √7 ∙ √𝑥 + 1 √𝑥 + 1 ∙ √4𝑥 + 3 + √7 √4𝑥 + 3 + √7 = = lim 𝑥→1 (𝑥 − 1) ∙ (√4𝑥 + 3 + √7) (4𝑥 + 3 − 7) ∙ (√𝑥 + 1) = lim 𝑥→1 (𝑥 − 1) ∙ (√4𝑥 + 3 + √7) (4𝑥 − 4) ∙ (√𝑥 + 1) = = lim 𝑥→1 (𝑥 − 1) ∙ (√4𝑥 + 3 + √7) 4 ∙ (𝑥 − 1) ∙ (√𝑥 + 1) = √4 ∙ 1 + 3 + √7 4 ∙ (√1 + 1) = 2√7 8 = √7 4 h) lim 𝑥→2 √11𝑥 + 5 3 − 3 𝑥 − 2 Resolução: Substituição: 𝑡 = √11𝑥 + 5 3 𝑡3 = 11𝑥 + 5 𝑥 = 𝑡3 − 5 11 ⟹ 𝑡 → 3 𝑞𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑥 → 2 lim 𝑥→3 𝑡 − 3 𝑡3 − 5 11 − 2 = lim 𝑥→3 𝑡 − 3 𝑡3 − 27 11 = lim 𝑥→3 11 ∙ 𝑡 − 3 𝑡3 − 27 = = lim 𝑥→3 11 ∙ 𝑡 − 3 (𝑡 − 3) ∙ (𝑡2 + 3𝑡 + 9) = lim 𝑥→3 11 𝑡2 + 3𝑡 + 9 = 11 32 + 3 ∙ 3 + 9 = 11 27 i) lim ℎ→0 (𝑥 + ℎ)2 − 𝑥² ℎ Resolução: lim ℎ→0 (𝑥 + ℎ)2 − 𝑥2 ℎ = lim ℎ→0 [(𝑥 + ℎ) − 𝑥] ∙ [(𝑥 + ℎ) + 𝑥] ℎ = lim ℎ→0 ℎ ∙ (2𝑥 + ℎ) ℎ = 2𝑥 + 0 = 2𝑥 j) lim 𝑥→−1 3𝑥2 − 3 𝑥 + 1 Resolução: lim 𝑥→−1 3𝑥2 − 3 𝑥 + 1 = lim 𝑥→−1 3(𝑥2 − 1) 𝑥 + 1 = lim 𝑥→−1 3 ∙ (𝑥 − 1) ∙ (𝑥 + 1) 𝑥 + 1 = lim 𝑥→−1 3 ∙ (𝑥 − 1) = 3 ∙ (−1 − 1) = −6 QUESTÃO 08. Para quais valores de 𝑐, o limite 𝑙𝑖𝑚 𝑥→2 3𝑥2 + 𝑎𝑥 + 𝑎 + 3 𝑥2 + 𝑥 −2 existe. E qual o valor do limite? Resolução: lim 𝑥→2 3𝑥2 + 𝑎𝑥 + 𝑎 + 3 𝑥2 + 𝑥 − 2 = 3 ∙ 22 + 𝑎 ∙ 2 + 𝑎 + 3 22 + 2 − 2 = 15 + 3𝑎 4 Perceba que “a” não compromete a função, pois, não está no denominador (zero), raiz de índice para (negativo) e dois. Sendo assim, todo valor 𝑎 ∈ ℝ é uma possibilidade para determinar o limite da função. QUESTÃO 09. A definição de limite usando e e d foi introduzida pelo matemático Karl Weierstrass para formalizar o conceito, essa definição tornou as demonstrações de propriedades e teoremas do cálculo mais lógicas e concretas. Classifique as propriedades de limites abaixo em verdadeiro (V) ou falso (F): a) ( ) O limite da soma de funções é a soma dos limites dessas funções. Resolução: Verdadeiro. b) ( ) O limite da diferença entre duas funções é igual a zero. Resolução: Falso pois, o limite da diferença entre duas funções é diferença entre os limites dessas funções. c) ( ) O limite de uma função multiplicada por uma constante é igual à constante. Resolução: Falso pois, o limite de uma função multiplicada por uma constante é igual ao limite da função multiplicada pela constante. d) ( ) O limite do produto de duas funções é o produto dos limites dessas funções. Resolução: Verdadeiro. e) ( ) O limite do quociente de duas funções é o quociente dos limites dessas funções. Resolução: Falso pois, o limite da função do denominador não pode ser zero.