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UAB - UFJF - GABARITO da AP2 de Ca´lculo III Professor: Grigori Chapiro Questa˜o 1 (30 pts.). Sejam g : R→ R e f : R2 → R dadas por g(t) = sen(t), f(x, y) = x− y. (a) Determine a func¸a˜o g ◦ f . (b) Calcule as derivadas parciais de g ◦ f na origem usando a regra da cadeia. (c) Seja h(x, y) = g ◦ f(x, y). Calcule as derivadas de terceira ordem: ∂xxyh(x, y) e ∂yyyh(x, y). Soluc¸a˜o: (a) g ◦ f : R2 → R, dada por g ◦ f(x, y) = sen(x− y). (b) ∂(g ◦ f) ∂x = dg dt (f(x, y)) · ∂f ∂x = cos(x− y), ∂(g ◦ f) ∂y = dg dt (f(x, y)) · ∂f ∂y = − cos(x− y). (c) ∂3(g ◦ f) ∂xxy (x, y) = ∂2 ∂xx ( ∂(g ◦ f) ∂y ) (x, y) = ∂2 ∂xx (− cos(x− y)) = = ∂ ∂x (sen(x− y)) = (cos(x− y)) . ∂3(g ◦ f) ∂yyy (x, y) = ∂2 ∂yy ( ∂(g ◦ f) ∂y ) (x, y) = ∂2 ∂yy (− cos(x− y)) = = ∂ ∂y (−sen(x− y)) = (cos(x− y)) . Pontuac¸a˜o: (a) Acertou a func¸a˜o 10 pts. (b) Cada uma das derivadas 5 pts. (Erro de conta - 5 pts.) (c) Cada uma das derivadas 5 pts. (Erro de conta - 5 pts.) Questa˜o 2 (20 pts.). Seja a func¸a˜o f : R2 → R dada por f(x, y) = sen(xy). Determine a equac¸a˜o do plano tangente ao gra´fico da f no ponto que corresponde a (x, y) = (1, pi). Soluc¸a˜o: Calculando o valor da func¸a˜o no ponto (x, y) = (1, pi) e´ f(1, pi) = 0, as derivadas parciais no ponto (x, y) = (1, pi): ∂f ∂x (1, pi) = cos(xy) · y|(1,pi) = −pi; 2 ∂f ∂y (1, pi) = cos(xy) · x|(1,pi) = −1. A equac¸a˜o do plano tangente e´ dada por: z = f(1, pi)+ ∂f ∂x (1, pi) · [x−1]+ ∂f ∂y (1, pi) · [y−pi] = 0−pi[x−1]− [y−pi], reescrevendo: pix+ y + z = 2pi. Pontuac¸a˜o: Calcular o valor da func¸a˜o 5 pts. Calcular cada uma das derivadas 5 pts. Acertar a equac¸a˜o do plano 5 pts. Questa˜o 3 (30 pts.). Dada func¸a˜o f : R2 → R, f(x, y) = x2− 2y2− 1. (a) Encontre o gradiente de f . (b) Calcule a derivada direcional da f no ponto (x, y) = (1, 2) na direc¸a˜o ~v = (−1, 1) usando o gradiente. (c) Calcule a mesma derivada direcional usando a definic¸a˜o. Soluc¸a˜o: (a) Calculando ∇f(x, y) = ( ∂f ∂x , ∂f ∂y ) = (2x,−4y). (b) Sabemos que ∂f ∂~v (x, y) = ∇f(x, y) · ~v ||~v|| = (2x,−4y) · (−1, 1)√ 2 = −2x− 4y√ 2 = − √ 2(x+2y). Logo ∂f ∂~v (1, 2) = − √ 2(1 + 4) = −5 √ 2. (c) ∂f ∂~v (x, y) = lim t→0 f((x, y) + t(−1, 1))− f(x, y) t||(−1, 1)|| = limt→0 f(x− t, y + t)− f(x, y) t √ 2 = = 1√ 2 lim t→0 (x− t)2 − 2(y + t)2 − 1− x2 + 2y2 + 1 t = 1√ 2 lim t→0 −2xt+ t2 − 4yt− 2t2 t = = 1√ 2 lim t→0 (−2x− 4y − t) = −2x− 4y√ 2 . Assim ∂f ∂~v (1, 2) = −10√ 2 = −5 √ 2. A resposta coincidiu porque a func¸a˜o polinomial e´ diferencia´vel. 3 Pontuac¸a˜o: (a) Definic¸a˜o do gradiente 5 pts. (b) A relac¸a˜o do gradiente com a derivada 10 pts. Acertou a conta +5 pts. (c) A definic¸a˜o da derivada direcional 5 pts. Chegar na resposta 5 pts. Questa˜o 4 (20 pts.). Encontre a equac¸a˜o do plano tangente ao gra´fico da func¸a˜o f : R2 → R, f(x, y) = y cos(xy) no ponto (x, y, z) = (1, pi,−pi). Soluc¸a˜o: Primeiro verificamos o valor da func¸a˜o no ponto f(1, pi) = pi cos(1 · pi) = −pi. Assim o ponto (1, pi,−pi) realmente faz parte do gra´fico da f . Calculando as derivadas parciais: ∂f ∂x (1, pi) = −sen(xy) · y2|(1,pi) = 0; ∂f ∂y (1, pi) = [cos(xy)− sen(xy) · xy](1,pi) = −1. A equac¸a˜o do plano tangente e´ dada por: z = f(1, pi)+ ∂f ∂x (1, pi)·[x−1]+ ∂f ∂y (1, pi)·[y−pi] = −pi−0[x−1]−[y−pi], Reescrevendo y + z = 0. Pontuac¸a˜o: Calcular o valor da func¸a˜o 5 pts. Calcular cada uma das derivadas 5 pts. Acertar a equac¸a˜o do plano 5 pts.
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