Calculo Vetorial - Curvas

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Curvas no espço
Jose´ de Anchieta Delgado
Curvas no espc¸o – p. 1/9
Definição de Curvas
Uma curva parametrizada é uma aplicação
α : [a, b]→ ℜn.
As curvas pode ser contínuas ou diferenciáveis.
Exemplo:
A curva α [a, b]→ ℜ3 dada por
α(t) = (cos t, sen t, t) é continua e diferenciável.
A curva α (−∞,∞)→ ℜ3 dada por
α(t) =
(
t sen1
t
, t2.2t)
)
não é contínua, e portanto,
não é diferenciável.
Curvas no espc¸o – p. 2/9
Traço de uma curva
parametrizada
O traço de uma curva parametrizada α [a, b]→ ℜn é
{α(t); t ∈ [a, b]} .
Exemplos:
α(t) = (cos t, sen t)
α(t) = (cos t, sen t, t)
são um círculo e uma hélice respectivamente.
Determine os traços das curvas parametrizadas
β(t) = (t sen (t), t cos (t)),
β(t) = (t3, t2).
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Vetor tangente a uma curva
parametrizada
O vetor tangente a uma curva parametrizada
α : (a, b)→ ℜn, em to é
Lim
t→0
α(to+t)−α(to)
t
.
Calcule os vetores tangenstes as curvas:
α(t) = (cos t, sen t)
α(t) = (cos t, sen t, t)
β(t) = (t sen (t), t cos (t)),
β(t) = (t3, t2).
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Geometria das Curvas em ℜ3
Uma curva está parametrizada pelo comprimento de
arco se o modulo do vetor tangente em cada ponto
tem comprimento um.
As curvas
α(t) = (cos t, sen t)
β(t) = (sen t√
2
, cos t√
2
, t√
2
)
estão parametrizadas pelo comprimento de arco.
Toda curva cuja vetor tangente em cada ponto e não
nulo pode ser parametizada pelo comprimento de
arco.
Curvas no espc¸o – p. 5/9
Geometria das Curvas em ℜ3
Calcule o comprimeto de arco das curvas
parametrizadas
α(t) = (et cos t, et sen t) t ∈ [0, 1],
β(t) = (a cos t, b sen t) t ∈ [0, 2pi],
γ(t) = (r cos t, r sen t) t ∈ [0, 2pi].
Se uma curva está parametrizada pelo comprimento
de arco então vetor aceleração é normal ao vetor
tangente. O vetor unitário na direção do vetor
aceleração e denominado de vetor normal. O produto
vetorial do vetor tangente pelo vetor normal é
chamado de vetor binormal.
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Geometria das Curvas em ℜ3
Uma curva parametrizada pelo comprimento de arco,
α cujas funções coordenadas possuem derivada até
segunda ordem contínuas satisfazem o sistema de
equações:
α′(t) = k(t) n(t);
n′(t) = −k(t)α′(t) + τ(t)b(t);
b′(t) = −τ(t)n(t),
n(t) é o vetor normal, b(t) é o vetor binormal, k(t)
e τ(t) são funções contínuas. As funções k(t) e
τ(t) são conhecidas como curvatura e torção da
curva. Reciprocamente das condições iniciais para o
sistema existe uma única curva cuja curvatura e torção
são as funções k(t) e τ(t). Curvas no espc¸o – p. 7/9
Regra da Cadeia
Sejam f : U → ℜn e g : V → ℜm f(U) ⊂ V
aplicações diferenciáveis. Então g ◦ f : U → ℜm é
diferenciável e D(g ◦ f)p = Dgf(p)Dfp.
Fazendo y = (y1, ..., yn) = (f1(x), ..., fn(x)), então,
em termos de matrizes, a regra da cadeia se escreve:


∂g1
∂y1
... ∂g1
∂yn
. ... .
. ... .
∂gm
∂y1
... ∂gm
∂yn




∂f1
∂x1
... ∂f1
∂xk
. ... .
. ... .
∂fn
∂x1
... ∂fn
∂xk




h1
.
.
hn


Curvas no espc¸o – p. 8/9
Regra da Cadeia
Para a função compostas g ◦ f :
f(x, y) = (x2 − y2, xy) g(u, v) =
(sen (uv), u + v, u− v);
Escreve a derivada no ponto (1, 1);
Encontr a matriz jacobiana no ponto (x, y).
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	 nullegin {center} nullextbf {Trac {c}o de uma curva parametrizada} end {center}
	 nullegin {center} nullextbf {Vetor tangente a uma curva parametrizada} end {center} 
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	 nullegin {center} nullextbf {Regra da Cadeia } end {center}
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