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Introdução ao Cálculo Diferencial e Integral - Funçoes

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2) Um tanque em forma de cone com vértice 
para baixo mede 12 m de altura e tem no 
topo um diâmetro de 12 m. Bombeia-se água 
à taxa de 4m3/min. Ache a taxa com que o 
nível da água sobe: 
 a) quando a água tem 2 m de 
profundidade. 
 b) quando a água tem 8 m de 
profundidade. 
 
3) Uma pedra lançada em uma lagoa provoca 
uma série de ondulações concêntricas. Se o 
raio r da onda exterior cresce uniformemente 
à taxa de 1,8 m/s, determine a taxa com que 
a área de água perturbada está crescendo: 
 a) quando r = 3m 
 b) quando r = 6m 
 
4) Determine as abscissas dos pontos críticos 
das funções abaixo: 
 a) s(t) = 2t3 + t2 – 20t +4 
 b) f(x) = 4x3 – 5x2 – 42x + 7 
 c) g(w) = w4 – 32w 
 
5) Determine os pontos de máximo, de 
mínimo e de inflexão das seguintes funções 
se existires, UTILIZANDO O TESTE DA 
DERIVADA PRIMEIRA. 
 a) y = 6x3 + 15x2 – 12x -5 
 b) 88
7
4)( 2 −+−= xxxf 
 c) f(x) = - 9x2 + 14x +15 
 
6) Determine as abscissas dos pontos 
máximos ou mínimos das seguintes funções, 
UTILIZANDO O TESTE DA DERIVADA 
SEGUNDA. 
 a) f(x) = x3 – 12x2 + 45x +30 
 b) y = 8x3 – 51x2 -90x +1 
 c) y = -x3 – 9x2 + 81x – 6 
 
7) Imagine que a trajetória de uma pedra 
lançada ao ar seja um trecho da parábola 
dada por y = 5x 2 – 2 0x (x e y em metros), 
determine o ponto máximo da função. 
 
 
 
 
Respostas: 
1) min/
2
5 2cmπ 
2) 
min/
4
1)
min/4)
mb
ma
π
π
 
 
3) 
smb
sma
/6,21)
/8,10)
2
2
π
π
 
4) 
2)
3
7
2
3)
23
5)
=
−=
−=
wc
exb
eta
 
5) a) máx x = -2 e min x = 1/3 
 b) máx x = 7 
 c) máx x = 7/9 
 
6) a) máx x = 3 e min x = 5 
 b) máx x = -3/4 e min x = 5 
 c) máx x = 3 e min x = - 9 
 
7) P(2,- 20) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Cálculo Diferencial e Integral 
 92
AULA 18 
 
10 – INTEGRAIS 
 
10.1 – INTRODUÇÃO: 
 Até o momento, nosso problema era; dada a função obter a sua derivada. A partir de 
agora, trabalharemos com a pergunta inversa: dada a função de quem ela é derivada? 
 A operação contrária a diferenciação (ou a derivação) é chamada de antidiferenciação ou 
anti-derivada. 
Definição: Uma função F é chamada de anti-derivada de uma função f em um intervalo l se F’(x) 
= f(x) para todo x em l 
 
Exemplo: 
 Seja f(x) = 4x3 + 2x + 1. F(x) = x4 + x2 + x é a anti-derivada da função f, pois F’(x0 = 
f(x). Mas não existe uma única integral, note por exemplo que: G(x) = x4 + x2 + x + 5 também é 
uma anti-derivada de f pois G’(x) = f9x0 
 Na verdade,qualquer função definida por H(x) = x4 + x2 + x + c onde x é uma constante 
qualquer, será uma integral de f. 
 
10.1.1 – NOTAÇÃO: 
 A anti-diferenciação é um processo pelo qual se obtém a anti-derivada, mais geral de uma 
função encontrada. O símbolo ∫ denota a operação de integral, e escrevemos: 
 ∫ += CxFdxxf )()( onde )()(' xfxF = 
 
A expressão acima é chamada de Integral Indefinida de f. Em lugar de usarmos a 
expressão antiderivação para o processo de determinação de F, utilizaremos agora, a expressão 
Integração Indefinida. 
 
Para facilitar o nosso processo de obtenção da anti-derivada de uma função, temos 
algumas regras, que veremos a seguir. 
 
 
10.2 – INTEGRAIS IMEDIATAS 
 
∫ ++=
+
c
n
xdxx
n
n
1
1
 
 
1) ∫ =dxx5 
 
 
 
2) ∫ =2xdx 
 
 
 
3) ∫ =3 2x
dx
 
 
 
Cálculo Diferencial e Integral 
 93
 
4) ∫ =− dxxx)1( 
 
 
 
 
 
5) ∫ =⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ + dx
x
x
2
3
2 1 
 
 
 
 
6) ∫ =−+ dxxxx 2
23 )45(
 
 
 
 
 
7) ∫ =+ dxxx 223 3.)2( 
 
 
 
 
 
 
∫ ++=
+
c
n
vdvv
n
n
1
1
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
8) ∫ =+ xdxxba .222 
 
 
 
 
 
∫ += cvvdv ln 
 
9) ∫ =− )32( xdx 
 
 
 
Cálculo Diferencial e Integral 
 94
 
10) ∫ =− 3
2
21 x
dxx
 
 
 
 
 
 
 
∫ += caadva
v
v
ln
 ∫ += cedve vv 
 
11) ∫ =dxxe
x
2
1
 
 
 
 
 
 
 
12) ∫ =dxexx3 
 
 
 
 
 
13) 
( )∫ =− dxba ba xx
xx 2
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
cvdvtgv +−=∫ cosln. ou cvdvtgv +=∫ secln. 
 
14) ∫ =xdxtg2 
 
 
 
 
 
∫ +−= cgvvvdv )cotsecln(cosseccos 
 
15) ∫ =xdxseccos 
 
 
Cálculo Diferencial e Integral 
 95
∫ += ctgvvdv2sec 
 
16) ∫ =dxxx 322 sec 
 
 
 
 
 
 
 
∫ ++= ctgvvvdv )ln(secsec 
 
17) ∫ =xdxxsec 
 
 
 
 
 
 
 
 
∫ += cxdxtgxx sec..sec 
 
18) ∫ =dxxsenx2cos 
 
 
 
 
 
 
∫ +−= cgxxdx cotseccos 2 
 
19) ∫ =+ xdxcos1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Cálculo Diferencial e Integral 
 96
 
c
a
varcsen
va
dv +=−∫ 22 ou ca
v
va
dv +−=−∫ arccos22 
 
20) ∫ =− 2916 x
dx
 
 
 
 
 
 
 
c
a
varctg
ava
dv +=+∫ 122 ou cavarcava dv +−=+∫ cot122 
 
21) ∫ =+ 94 2xdx 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c
a
varc
aavv
dv +=−∫ sec
1
22
 ou c
a
v
aavv
dv +−=−∫ secarccos
1
22
 
 
22) ∫ =− 94 2xx
dx
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Cálculo Diferencial e Integral 
 97
 
c
va
va
ava
dv +−
+=−∫ ln2
1
22
 
 
23) ∫ =−19 2xdx 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
∫ ++−=− cav avaav dv ln2122 ∫ +±+=± cavvav
dv )ln( 22
22
 
 
 
 
24) ∫ =−+ 743 2 xx dx 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Cálculo Diferencial e Integral 
 98
 
Aula 18- Exercícios 
 
1) ∫ + dxx x 33
2
)2(
8
 
 
2) ∫ +
+ dx
xx
x
3
12 )6(
)3(
 
 
3) ∫ − dxxx 42 2 
 
4) dx
x
x∫ + )ln2( 
 
5) ∫ + dxxx
2)1(
 
 
6) ∫ + dxee xx .)1( 3 
 
7) ∫ dxxxsen .2cos.2 2 
 
8) ∫ ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
+ dxtgx
x
2
1
sec
 
 
9) ∫ − dxxcb ax 222 3 
 
10) ∫ xxdxln. 
 
11) ∫ dxxtg .2 
 
12) ∫ 22 )( xedx 
 
13) dx
x
xsenx∫ +coscos 
 
14) ∫ dxxsengx2cot 
 
15) ∫ − dxx 2)14(sec 
 
16) ∫ + dxxba tgxxsec.sec 
 
17) ∫ dxxsen x4
3cos
 
 
18) ∫ dxxtg .4 
 
19) ∫ + dxxxtg 2)2sec2( 
 
20) ∫ + dxgxtgx 2)cot( 
 
21) ∫ + dxbx ax 44 
 
22) ∫ − 294 tdt 
 
23) ∫ − θθθ 24 .cossend 
 
24) ∫ −14xx
dx
 
 
25) ∫ − dxx
x
2
2
1
arccos
 
 
26) ∫ − dxxx 6
2
5
 
 
27) ∫ + arctgxx dx)1( 2 
 
28) ∫ −+ xx ee dx 
 
29) ∫ + dxxtgxx 2sec49 .sec 
 
30) ∫ ++ 522 xx dx 
 
31) ∫ −− 23 2xx
dx
 
 
32) ∫ −++ 2)12(
3
2 xxx
dx
 
 
33) ∫ −
− dx
x
xx
21
arccos
 
Cálculo Diferencial e Integral 
 99
 
 
34) dx
xx
x∫ −+ − 743 322 
 
35) ∫ −+ 2627 xx
xdx
 
 
36) ∫ ++ 21 xx
dx
 
 
37) ∫ +
− dx
x
x
94
13
2
 
 
38) ∫ +− + dxxx x 8129 322 
 
39) ∫ + dxxsen
xsen
21
2
 
 
40) ∫ + x
x
e
dxe
2
2
2
 
 
41) ∫ − xx
dx
2ln1
 
 
42) ∫ + xxsen dx 22 cos32 
 
43) dxxx∫ +3 23. 
 
 
 
Respostas: 
1) c
x
++
−
23 )2(3
4