lista 1

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Centro Federal de Educação Tecnológica Celso Suckow da Fonseca
Graduação em Engenharia
Unidade Nova Iguaçu
Exercı́cios - lista 1
Cálculo 4
Questão 1 - Mostre que, quaisquer que sejam z,w ∈ C:
1) z + w = z̄ + w̄ 2) zw = z̄w̄
3) |z + w| = |z| + |w| 4) |zw| = |z||w|
Questão 2 - Efetue as operações
1) (2 − 6i)(−5 − 4i) 2) (3 −
√
5i) − 8
3) (x + iy)(x − yi) 4) i10 + i98
Questão 3 - Mostre que, para todo número complexo z, temos z + z̄ = 2Re(z) e z − z̄ = 2iIm(z).
Questão 4 - Encontre as raı́zes da equação z2 − (4 − i)z − 8i = 0.
Questão 5 - Sejam z1 , z2 ∈ C fixados, com z1 , z2 . Descreva geometricamente o conjunto de todos os
pontos z do plano que satisfazem |z − z1| = |z − z2|.
Questão 6 - Resolva as equações
1) x3 + 3x2 + 2x = 0 2) x3 − 6x2 − x + 6 = 0
3) x3 + 6x2 − x − 6 = 0 4) x3 − 7x − 6 = 0
Questão 7 - Encontre a de modo que 2 seja uma raiz de p(x) = x3 − ax2 + 5x − 6. Para este valor de a,
encontre as outras raı́zes.
Questão 8 - Determine o domı́nio da função f (z) = z
3
z2−(3−i)z+4
Questão 9 - Dadas as curvas abaixo, determine suas imagens pela função f (z).
a) α(t) = 2(cost + isent), t ∈ [0, 2π] e f (z) = Re(z).
b) α(t) = it, t > 0 e f (z) = z3
1
c) α(t) = 1 + ti, t ∈ R e f (z) = z2
Questão 10 - Determine a imagem do quadrado Q de vértices z0 = 0, z1 = 1, z2 = 1 + i,z3 = i pela
função f (z) = z2
Questão 11 - Determine a imagem do cı́rculo S = z ∈ C | |z − 1| = 1 pela função f (z) = z2 − 2z.
Questão 12 - Mostre por definição que lim
z→i
2
(
z2 + iz + 2
z − i
)
= 6i
Questão 13 - Calcule os limites
1) lim
z→0
1 − cos z
2z
2) lim
z→0
z − sen z
ez3 − 1
3) lim
z→∞
z2
(3z + 1)2
4) lim
z→∞
z
z2 + 1
Questão 14 - Determine onde f (z) é analı́tica quando f (z) = (x + αy)2 + 2i(x − αy)
Questão 15 - Verifique em quais pontos as funções são analı́ticas. Em quais pontos são deriváveis?
1) f (z) = z3 + z 2) f (z) = iz + 2
3) f (z) = 1i−z 4) z
2
2