Nota de Aula 1 e 2 - Probabilidade e V A

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Notas de Aulas 
Técnicas de Simulação e Otimização 
Professor Kleison Freitas 
 
 
 
 
 
 
2021.2 
@kleisonnn 
 
Notas de Aula - Técnicas de Otimização e Simulação - Professor Ms. Kleison Freitas - Página 2 
 
 
Informações sobre a Disciplina 
 
- Apresentação: Cursando a disciplina de Técnicas de Otimização e Simulação, o acadêmico terá a 
oportunidade de conjugar habilidades adquiridas durante o curso em disciplinas como Estatística, Estratégia e 
Pesquisa Operacional, para resolver problemas específicos de operações de produção ou serviços. Ao final da 
disciplina o aluno terá condições de interferir sistematicamente em questões estratégias de sistemas 
produtivos dos mais diversos, utilizando ferramentas de previsão e simulação. Trata-se de um dos grandes 
diferenciais do engenheiro de produção para agregar valor às organizações. 
 
- Objetivos 
1. Estruturar um problema real e extrair dos mesmos parâmetros necessários para construção dos modelos de 
simulação. 
2. Criar modelos computacionais adequados a problemas complexos comuns no contexto organizacional 
contemporâneo. 
3. Utilizar ferramentas computacionais e estatística a fim de encontrar valores ótimos de parâmetros em 
modelos de sistemas produtivos. 
4. Desenvolver análises competentes dos dados de saídas de modelos de modo a ser capaz de escolher 
estratégias ótimas de ação. 
5. Desenvolver projetos de sistemas produtivos que possam funcionar de forma ótima em ambientes reais e 
atendendo a níveis de serviço pré-determinados. 
 
- Metodologias e Recursos: Utilizar as técnicas estatísticas através de aulas expositivas, práticas em 
laboratório de informática e possibilitando o discente na resolução de problemas em sua área de atuação e 
formação. 
 
- Sistema de Avaliação: Verificar no SIA. 
 
- Sistema de frequência: O aluno deve ter no mínimo 75% de frequência. Se o aluno tiver acima de 15 faltas 
estará reprovado por falta, visto que cada aula são três faltas ou três presenças, respectivamente. O aluno 
deverá administrar as suas faltas. 
 
 
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Informações sobre o Professor Kleison Freitas 
Graduação 
Curso: Estatística - Instituição: Universidade Federal do Ceará - Ano de Conclusão: 2004 
 
Pós-Graduação 
Curso: Mestrado em Logística e Pesquisa Operacional 
Instituição: Universidade Federal do Ceará - Ano de Conclusão: 2009 
Curso: MBA em Administração e Marketing 
Instituição: Centro Universitário Internacional Uninter – Paraná – SC - Ano de Conclusão: 2017 
Curso: Especialização em Gastronomia 
Instituição: Unifanor – Ano de Conclusão: 2018 
 
Experiência no Magistério 
1. Professor da Universidade Federal do Ceará (UFC). 
Setor de estudo: Probabilidade e Estatística. Departamento de Estatística e Matemática Aplicada (DEMA) do 
Centro de Ciências. Cursos em que já ministrou/ministra aulas: Biblioteconomia, Ciências Atuariais, Ciências 
Biológicas, Ciências Contábeis, Computação, Engenharia de Alimentos, Engenharia Elétrica, Engenharia 
Mecânica, Engenharia Metalúrgica, Engenharia de Pesca, Geografia, Química, Matemática e Publicidade e 
Propaganda. De 2006 a 2017 
2. Professor do Centro Universitário UNIFANOR. 
Cursos de graduação em que ministrou/ministra aulas: Administração, Ciências Contábeis, Construção de 
Edifícios, Engenharia Ambiental, Engenharia Civil, Engenharia Elétrica, Engenharia de Produção, 
Engenharia Química, Gestão Comercial, Logística, Marketing, Nutrição, Processos Gerenciais, Psicologia, 
Recursos Humanos e Sistema de Informação. Disciplinas: Administração Mercadológica, Bioestatística, 
Estatística, Matemática Empresarial e Pesquisa Operacional. Desde agosto de 2007. 
3. Professor na Universidade de Fortaleza (UNIFOR). 
Curso: MBA em Inteligência de Mercado. Disciplina: Métodos Quantitativos. Desde 2021. 
 
Experiência como estatístico 
1. Diretor de Marketing e de Projetos na Gauss – Empresa Júnior de Estatística (UFC). 
Período: 2000 a 2004. 
2. Consultorias Empresariais: Empresas Públicas, Privadas e Clientes físicos. Período: Desde 1999. 
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Nota de Aula 1 – Probabilidade 
 
 
1 INTRODUÇÃO 
O passo decisivo para a fundamentação teórica da inferência estatística associa-se ao 
desenvolvimento do cálculo das probabilidades. 
Até recentemente, era comum creditar a decisão de qualquer evento aos deuses ou alguma outra 
causa sobrenatural. Simplesmente não havia espaço para uma abordagem que atribuísse ao acaso, e tão 
somente a ele, essas ocorrências. Entretanto, a humanidade precisou de centenas de anos para se acostumar 
com um mundo onde alguns eventos não tinham causa, ou eram determinados por causas tão remotas que 
somente podiam ser razoavelmente representados por modelos não casuais. Tendo isso em vista, fica mais 
fácil perceber por que a abordagem matemática do acaso, do azar e do risco só se iniciou há pouco mais de 
500 anos. 
Dessa forma, a teoria das probabilidades nasceu das tentativas de quantificação dos riscos dos 
seguros e da avaliação das chances de se ganhar em jogos de azar. 
Assim, essa quantificação dos riscos ocorreu há mais de 5 mil anos entre os comerciantes marítimos 
mesopotâmicos e fenícios, aplicados à perda de carga de navios, ou por naufrágio ou por roubo. Assim, a 
prática foi continuada pelos gregos e romanos e acabou chegando ao mundo cristão medieval através dos 
comerciantes marítimos italianos que se baseavam em estimavas empíricas das probabilidades de acidentes 
para estipularem as taxas e prêmios correspondentes. 
Logo após o término da Idade Média, o crescimento dos centros urbanos levou à popularização de 
um novo tipo de seguro: o seguro de vida. Assim, com este tipo de seguro surgiram os primeiros estudos 
matemáticos sobre o assunto, fazendo com que houvesse um enorme aumento nos negócios de seguros 
marítimos (associados aos preciosos carregamentos trazidos das Américas e das Índias), mas os seguradores 
continuaram a usar as milenares técnicas empíricas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Posteriormente a isso, o primeiro trabalho prático na área dos seguros de vida 
é devido a Halley em 1693 (Degrees of Mortality of Mankind). Nesse trabalho, 
Halley mostrou como calcular o valor da anuidade do seguro em termos da 
expectativa de vida da pessoa e da probabilidade de que ela sobreviva por um 
ou mais anos, mas com Daniel Bernoulli (1730), a matemática dos seguros 
atingiu um estado bastante maduro, pois com ele retoma-se um clássico 
problema de, a partir de um número dado de recém-nascidos, calcular o 
número esperado de sobreviventes após n anos. 
 
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Além disso, ele também dá os primeiros passos em direção a novos tipos de seguros calculando, por 
exemplo, a mortalidade causada pela varíola em pessoas de certa idade. Concomitantemente, os jogos de azar, 
jogos nos quais a possibilidade de ganhar ou perder não dependem da habilidade do jogador, mas sim 
exclusivamente do azar do apostador, são, provavelmente, tão velhos quanto à humanidade. 
Sendo assim, a origem da probabilidade se deu aos jogos de azar, através de questões postas pelo 
matemático francês Pascal (1623-1662) com o célebre cavaleiro Méré, um famoso jogador profissional que 
escreveu uma carta a Pascal, propondo-lhe resolver alguns problemas matemáticos que tinha encontrado em 
suas lidas com jogos de azar. 
Sendo assim, hoje há muitas aplicações que envolvem jogos de azar como as loterias, os cassinos de 
jogos, as corridas de cavalos e os esportes organizados (futebol, voleibol, handebol), dentre outros, que 
utilizam a teoria das probabilidades diariamente nas duas deliberações. 
Independente de qual seja a aplicação em particular, a utilização das probabilidadesindica que existe 
um elemento de acaso, ou de incerteza, quanto à ocorrência ou não de um evento futuro. Assim é que, em 
muitos casos, pode ser impossível afirmar por antecipação o que ocorrerá, mas é possível dizer o que pode 
ocorrer. Por exemplo, se jogarmos uma moeda para o ar, de modo geral não podemos afirmar se vai dar cara 
ou coroa. Além disso, mediante determinada combinação de julgamento, experiência e dados históricos, em 
geral, é possível dizer quão provável é a ocorrência de determinado evento futuro. 
Assim, as probabilidades são úteis porque auxiliam a desenvolver estratégias e faz com que o 
método da inferência estatística se baseie na teoria da probabilidade para formular conclusões sobre toda uma 
população (N) baseada em uma amostra (n). Dessa forma é que alguns motoristas parecem demonstrar uma 
tendência para correr a grande velocidade se acham que há pouco risco de serem apanhados ou de correr 
acidentes fatais. Os investidores sentem-se mais inclinados a aplicar seu dinheiro se as chances de lucro são 
boas, e você certamente carregará capa ou guarda-chuva se houver grande probabilidade de chover. 
Analogamente, uma empresa pode sentir-se inclinada a negociar seriamente com um sindicato quando há 
forte ameaça de greve, ou mais inclinada a investir em novo equipamento se há boa chance de recuperar o 
dinheiro, ou ainda de contratar um novo funcionário que pareça promissor, dentre outros. 
Ao longo dos anos, os cálculos probabilísticos vieram se aperfeiçoando, passando da simples análise 
de fatos à abstração destes. Um caso de utilização da teoria da probabilidade é o da maior loteria do Brasil, a 
Megasena, onde são apostados de seis a quinze números, entre os 60 disponíveis no volante (01 a 60, 
inclusive respectivamente). 
Neste jogo, os apostadores podem apostar de no mínimo seis números e no máximo quinze do total 
de 60. Marcando 4, 5 ou 6 pontos (quadra, quina ou sena, respectivamente) receberão prêmios. 
O preço das apostas dependendo de quantos grupos possíveis de seis números existem dentro dos 
números escolhidos, variam de R$ 4,50 para seis números (somente 1 jogo possível) a R$ 22.522,50 para 15 
http://pt.wikipedia.org/wiki/Jogo
http://pt.wikipedia.org/wiki/Azar
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números (5005 jogos possíveis). A possibilidade de acertar a Megasena ao fazer uma aposta mínima é de 1 em 
50.063.860 (aproximadamente 50 milhões). 
O cálculo é feito da seguinte forma: 
n = Total de número a escolher (n = 60) 
X = Ganhar na Megasena, ou seja, quantidade de números a acertar dentre os 60 números (x = 6 
números), então: 
Como a ordem de escolha dos números não importa, então usa-se a seguinte fórmula de 
combinação: 
860.063.50
!54!6
!60
)!660(!6
!60
6
60
==
−
=





=





x
n
, então: 
P(ganhar na megasena) = %000002,000000002,0
860.063.50
1
== , ou seja, as chances de ganhar o 
jogo com uma única cartela é de 1 para 50 milhões. Para todos os efeitos práticos, essa probabilidade é zero, 
o que significa que o apostador tem quase nenhuma chance de ganhar na loteria com uma única cartela, 
mesmo assim, sempre há algum ganhador na loteria. Essa contradição aparente pode ser explicada com a 
seguinte analogia: 
“Suponha que há uma fila de micro ônibus de Fortaleza até o Porto Alegre (RS). Suponha que pela 
distância entre as duas cidades e pelo comprimento de um micro ônibus normal, haverá, de forma hipotética, 
aproximadamente 23 milhões de micro-ônibus na fila. Diretores da loteria selecionariam, ao acaso, um dos 
micro ônibus e colocariam um cheque de 30 milhões de reais em seu porta-luvas. Por um custo de dois reais 
o apostador pode viajar pelo país e selecionar um (e somente um) micro-ônibus e verificar o porta-luvas”. 
Em sua opinião, você acha que o apostador vai encontrar os 30 milhões no micro-ônibus que 
escolheu? 
Você deve estar quase certo de que não. Agora, permita que qualquer pessoa entre na lotérica e por 
dois reais adquira uma cartela e suponha que 50 milhões de pessoas façam isso uma única vez. Com um 
número tão grande de participantes é muito provável que alguém vá achar o micro-ônibus com os 30 
milhões, mas é quase certo que não será você. 
Este exemplo ilustra um axioma da Estatística chamando de a lei dos grandes números (proposta 
por Bernoulli), que estabelece que a frequência relativa (proporção entre o número de elementos do espaço 
amostral) do número de vezes em que um resultado ocorre quando um experimento é repetido muitas vezes 
se aproxima do valor teórico da probabilidade de resultado. Em outras palavras, quando se repete um 
experimento um número suficientemente grande de vezes é possível, substituir a expressão “frequência 
relativa” por “Probabilidade” com erro desprezível. 
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Bernoulli afirmou: “Para muitas experiências, tendo cada uma um resultado aleatório, a frequência 
relativa de cada um desses resultados tende a estabilizar, convergindo para um certo número que constitui a 
probabilidade desse resultado”. 
É claro que se o número de repetições da experiência aleatória for bastante elevado, e ela for 
repetida em sequências de n vezes, a frequência do acontecimento do evento E é diferente de sequência para 
sequência, mas toma valores próximos de um valor dado. Esse valor é o limite para o qual tende a frequência 
do acontecimento E, e é também o valor esperado (teórico) da probabilidade desse acontecimento quando o 
número n de provas que se realizaram tende para infinito. Assim: 
)(
)(lim
)(
lim
)(
→
=
→
=
n
En
n
EP
n
EP 
No entanto, para este processo poder ter precisão, é necessário realizar muitas vezes a experiência 
aleatória. Isto ocorrendo, para qualquer tipo de distribuição de probabilidade (Normal, Uniforme, Triangular, 
Exponencial) a lei dos grandes números funciona também. 
Na prática empresarial, a utilização lei dos grandes números ocorre devida uma razão bem científica 
para escolha do ser humano médio como foco na formulação desta lei na gestão de pessoas, podendo 
formulá-la mais ou menos assim: “O comportamento de muitas pessoas é mais previsível do que o 
comportamento de um grupo pequeno ou que o comportamento de uma pessoa isolada”. Essa afirmação nos 
ajuda a entender vários acontecimentos aparentemente misteriosos da vida em sociedade, e muito mais na 
vida na empresa. Por exemplo, ninguém controla a quantidade de comida que deve chegar a uma cidade 
como Fortaleza, ou quais tipos de comida devem ser encomendados, mas é certo eu encontrar o que quero, 
quando quero, do jeito que quero. A habilidade que o sistema tem de antecipar minhas necessidades e desejos 
sem que eu tenha falado deles a ninguém, é explicada pela lei dos grandes números. Eu, um cara “médio”, 
não vou sair procurando nada muito fora da média. Chamam esse talento para computar o que os “médios” 
querem, de talento de marketing, e para isso utilizam a teoria da probabilidade. 
Ainda para uma maior explicação da lei dos grandes números, se não soubermos a probabilidade de 
ocorrer algum evento natural (por exemplo, a chance de chover), ou se não conhecemos a fração de alguma 
população que satisfaz uma condição (tal como quantas partes defeituosas foram produzidas numa linha de 
montagem) podemos descobrir esta probabilidade ou esta porcentagem através de numerosas observações e 
experimentos suficientes. 
Um outro exemplo para a lei dos grandes números é você poder achar estranho que uma pessoa 
ganhe duas vezes ou mais na Megasena. O New York Times contou a história de uma mulher de Nova Jersey 
(EUA) que ganhou duas vezes a lotaria americana, dizendo que as probabilidades eram de “1 em 17 trilhões”. 
Contudo, os estatísticos Stephen Samuels e George McCabe da Universidade de Purdue calcularam a 
probabilidadede alguém ganhar a loteria duas vezes num período de 4 meses como de 1 para 30. 
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Por que essa chance e essa probabilidade de ganho aumentam? 
Porque os jogadores não compram um único bilhete para cada uma das duas loterias, compram 
vários bilhetes múltiplos por semana. Justificando nesse caso a lei dos grandes números com a quantidade 
grande de jogadas por jogadores. 
Em outras palavras, quer ganhar na Megasena, aposte nela e com muitas cartelas, mas muitas 
mesmas. 
Um outro exemplo para a lei dos grandes números é, se fizermos uma pesquisa sobre a população 
de um Estado brasileiro e observamos apenas alguns cidadãos (amostra), os resultados podem conter grande 
erro, porém se analisarmos várias pessoas em várias cidades diferentes dentro deste Estado (selecionados ao 
acaso), os resultados das amostras estarão muito próximos dos verdadeiros valores da população e quanto 
maior a amostra (maior número de pessoas entrevistadas) maior será esta aproximação. 
Diante de tudo isto, os jogos, considerados legais, no Brasil é estimulado, pois de acordo o site da 
Caixa Econômica Federal (agosto, 2021), quem joga na Megasena tem milhões de motivos para apostar e 
milhões de brasileiros para ajudar. 56,65% do valor arrecadado com as apostas é repassada ao Governo 
Federal, que pode, então, realizar investimentos nas áreas da saúde, educação, segurança, cultura e do esporte, 
beneficiando toda a população, por exemplo, 17,32% é destinado à Seguridade Social. 
Desde então, as loterias em geral se tornaram imensamente populares por duas razões. Primeiro, elas 
atraem o apostador com a oportunidade de ganhar milhões de reais com um investimento de dois reais, 
segundo, quando o apostador perde, pelo menos acredita que seu dinheiro está indo para uma boa causa. 
A Megasena não é simplesmente uma “vantagem” para o povo concedida pelo governo, pois como 
a grande maioria dos apostadores são pertencentes à classe baixa, eles gastam na loteria aproximadamente o 
mesmo que pessoas de classe média, mas por terem menos dinheiro, o maior percentual de seus ganhos dos 
que apostam na sorte se destinam a esse fim. Isso faz desta uma forma de atividade “regressiva”, ou seja, 
empobrece mais quem já é tido como pobre. 
 
“Sempre acerto 11 pontos e ganho 2 reais na LOTOFACIL, só uma vez que 
acertei 13 pontos e ganhei 10 reais. No total ja ganhei 32 reais, mas aí 
descontei 12 reais das apostas, sobrou 20 reais, só que aí fui descontar os 
outros jogos que eu não acertei e vi que fiquei 17 reais mais pobre...” 
(depoimento anônimo de um jogador) 
 
 
 
 
 
 
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1.1 ANÁLISE DE DECISÃO PRÁTICA COM USO DA PROBABILIDADE 
A Análise de Decisão envolve o uso de processos racionais para selecionar a melhor alternativa 
dentre um conjunto de alternativas possíveis, que podem ser divididos em duas principais categorias: tomada 
de decisão sem experimentação (a priori) e com experimentação (a posteriori), como por exemplo: Uma 
indústria lançará um novo produto no mercado: Qual será a probabilidade de aceitação do produto para se 
decidir qual a quantidade a produzir e distribuir? 
Esse exemplo que envolve tomada de decisão traz consigo uma grande incerteza embutida, portanto 
conhecer e ter os conhecimentos probabilísticos nessa tomada de decisão, possibilitará ao analista uma 
decisão com maior garantia de sucesso do que fracasso. 
 
2 CONCEITOS INICIAIS 
• Experimentos aleatórios: São aqueles ensaios de simulação que não são previsíveis, mesmo 
que repetido em idênticas condições, geram resultados diferentes, pois ocorrem ao acaso. 
• Espaço amostral (): É o conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento 
aleatório, ou seja, é o conjunto universo do experimento. 
Exemplo: Seja o experimento “Nascimento de duas crianças”. Os resultados possíveis são? 
Dica: Use o diagrama de árvore de decisão para encontrar o , sendo que o primeiro nó da 
árvore representa as probabilidades a priori (tomada de decisão sem experimentação) e a 
partir do segundo nó são as probabilidades a posteriori, que possibilitará aplicar a 
probabilidade condicional e os teoremas da multiplicação e Bayes (tomada de decisão após 
experimentação, ou seja, tomada de decisão chamada de política ótima que maximiza o lucro 
ou minimiza o custo), assuntos que serão vistos mais à frente. 
• Evento (E): É o subconjunto do espaço amostral que contém os resultados que nos 
interessam. 
Exemplo: Lançam-se uma moeda e um dado honestos. Enumere o seguinte evento: E1= Sair 
cara e face par 
• Evento certo: É o evento que ocorre com certeza (É o próprio espaço amostral). 
Exemplo: Sair face menor que 7 no lançamento de um dado. 
• Evento impossível: É o evento que nunca ocorre (), ou seja, não há possibilidade de 
ocorrência deste evento. 
Exemplo: Obter soma maior que 12 no lançamento de dois dados. 
 
 
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• Operações com eventos aleatórios: 
a) União: Sejam os eventos A e B, a união do evento A ao evento B é entendido por 
A  B. Representa a ocorrência de pelo menos um dos eventos, A ou B. 
b) Interseção: O evento interseção é formado pelos pontos amostrais que pertencem 
simultaneamente aos eventos A e B, sendo representado por A  B. 
 
Exemplo: Seja o experimento: “Lançamento de um dado honesto de 6 faces”. Então,  = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, 
sejam os eventos: 
E1: Ocorrer face par 
E2: Ocorrer número menor que 3 
a) Então, E1  E2 = 
 
b) Então, E1  E2 = 
 
 
 
 
• Eventos mutuamente exclusivos ou disjuntos: São eventos que não ocorrem 
simultaneamente, ou seja, A  B = , pois a ocorrência de um deles anula a ocorrência do 
outro. 
Exemplo: Seja o experimento “Lançar um dado honesto”. Então,  = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, sejam os eventos: 
E1: Ocorrer face par 
E2: Ocorrer face ímpar 
Então, E1  E2 = 
 
• Eventos complementares ( )E : O complemento de um evento “E”, denotado por 
E ou cE , consiste em todos os resultados em que o evento “E” não ocorre, ou seja, é o 
acontecimento complementar de E. Eventos complementares são eventos mutuamente 
exclusivos, mas a recíproca não é verdadeira, ou seja, nem todo evento mutuamente 
exclusivo é complementar, por exemplo, no jogo de futebol, se o time ganhar é por que o 
outro perdeu, mas se empatar, nenhum ganhou ou nenhum perdeu. 
E  E =  (mutuamente exclusivo) 
E  E =   E + E =   E =  - E 
E1 
E2 
 
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Dizemos que E e E são complementares se sua união é o próprio espaço amostral e sua 
interseção é vazia. Exemplo: Cara ou coroa na jogada de uma moeda; Exemplo: Feridos e 
não feridos num acidente. 
 
2.1 DEFINIÇÃO DE PROBABILIDADE A PRIORI 
É a possibilidade de que certo evento venha ocorrer, ou seja, é uma medida da incerteza associada 
aos resultados do experimento aleatório. De acordo a Lei de Laplace: Seja  um espaço amostral 
equiprovável (quando todos têm a mesma probabilidade de ocorrer) de um experimento aleatório, e E, um 
evento desse espaço amostral finito, definido por: 
 

=
 do elementos de Número
E de elementos de Número
)(EP , assim: 
)(
)(
)(

=
n
En
EP 
 
Em outras palavras, probabilidade é uma fração entre o número de resultados favoráveis (aqueles 
que satisfazem a necessidade do problema a ser calculado) com o número de resultados possíveis. 
 
• Propriedades/Axiomas: 
a) A probabilidade de um evento certo é igual a 1, isto é, P() = 1 ; 
b) O  P(E)  1: A probabilidade de um evento ocorrer é sempre maior ou igual a zero 
e menor ou igual a 1; 
c) 1)()()(1)( =+−= APAPAPAP = P(), ou seja, a soma de eventos 
mutuamente exclusivossempre será igual a 1; 
d) P() = 0, mas a reciproca não é verdadeira, pois o fato de P(A) = 0 não implica que 
seja impossível. 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Exercício 1: Tomada de decisão a priori: É sexta-feira à noite e um estudante universitário está em uma 
festa e lembra que na próxima segunda-feira haverá uma prova de cálculo em que ele está totalmente “por 
fora” da matéria. E o pior é que, se ele não conseguir uma boa nota, estará reprovado. Mas ele lembra que o 
professor falou que a prova teria 3 questões de múltipla escolha, e basta ele acertar duas dessas questões para 
ser aprovado. Se o estudante optar em continuar na festa e decidir que vai fazer a prova na base do “chute”. 
Portanto: 
a) Relacione os diferentes resultados possíveis que ele poderá obter através do diagrama de árvore de decisão: 
 
b) Qual é a probabilidade de responder corretamente todas as três questões e ser aprovado? 
 
c) Qual é a probabilidade chutar corretamente pelo menos 2 questões e conseguir sua aprovação? 
 
d) A estratégia de “chutar” na prova é uma estratégia inteligente adotada pelo aluno? 
 
Exercício 2: Suponha que o professor falou o seguinte na última aula de Estatística: “Alunos, estudem todo 
o assunto que foi visto durante todo o semestre que se encontra nas Notas de Aulas de Estatística, pois na 
próxima aula farei um sorteio de um aluno e abrirei aleatoriamente a nota de aula. Assim, na página em que 
eu abrir o aluno sorteado deverá fazer no quadro para toda a turma um exercício que estiver na página 
sorteada, sendo que se a página tiver mais de um exercício, será feito o primeiro exercício que há nela”. 
Suponha ainda que a nota de aula é composta por 240 páginas, e o aluno verificou que os assuntos que ele 
mais domina estão entre as páginas 80 e 120, excluindo estas duas. Diante disso qual é a probabilidade de 
quando o professor abrir a nota de aula ele abra entre estas páginas, e ele resolva com tranquilidade e receba a 
pontuação que será proporcionada pela atividade? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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3 PROBABILIDADE A PRIORI - TEOREMA DA SOMA 
Seja E um espaço amostral finito e não vazio. O principal objetivo da regra da adição é encontrar a 
probabilidade de ocorrência do evento A, ou do evento B, ou de ambos, ou pelo menos um deles. Assim: 
P (A  B) = P (A) + P (B) – P (A  B) Ou )()()()( BAPBAPBAPBAP ++= 
Representando pelo diagrama de Venn: 
 
 
 
 
Se os eventos forem mutuamente exclusivos, ou seja, não ocorrem simultaneamente, isto é, 
A  B = , então P (A  B) = 0, assim: P (A  B) = P (A) + P (B) 
 
Quando as probabilidades de eventos mutuamente exclusivos somam 1, diz-se que os eventos são 
coletivamente exaustivos, nesse caso não existem outros resultados possíveis. 
 
• Leis de Morgan ou Leis das Dualidades: Seja E um espaço amostral finito e não vazio. O 
principal objetivo da regra é verificar a: 
)( BAP  = Probabilidade de não ocorrer A e B, ou seja, não ocorre a interseção. 
)( BAP  = Probabilidade de não ocorrer “A” e não ocorrer “B”, ou seja, não ocorre cada um 
separadamente, assim: )( BAP  =1- P(A  B) 
)()(1)( BAPBAPBAP =−= : A probabilidade de não ocorrer a interseção. 
Sejam A, B e C três eventos. Então: 
 
P (A  B  C) = P (A) + P (B) + P (C) – P (A  B) – P (A  C) – P (B  C) + P (A  B  C) 
 
 
 
 
 
 
 
P (A e B) = P (A  B) 
Notas de Aula - Técnicas de Otimização e Simulação - Professor Ms. Kleison Freitas - Página 14 
 
 
Exercício 3: Considere um experimento aleatório e os eventos A e B associados, tais que 
P (A) = 
2
1
, P (B) = 
3
1
 e P (A  B) = 
4
1
. Então temos: 
a) P(A  B) 
 
b) )( BAP  
 
c) )( BAP  
 
d) )( BAP  
 
Exercício 4: Tomada de decisão a priori em uma indústria de biscoito: Em uma determinada indústria 
de biscoitos recheados, o controle de qualidade fez um censo de todos os produtos produzidos em um dia e 
constatou-se que 15% apresentavam avarias de quebra, 12% estavam fora de dimensionamento (tamanho 
incompatível com a embalagem) e 2% fora de dimensionamento e quebrados. Diante dessas prevalências, o 
engenheiro de produção quis simular qual a probabilidade de no dia seguinte, dada às mesmas circunstâncias 
produtivas do dia da análise, a probabilidade de: 
a) Pelo menos um biscoito com quebra ou fora de dimensão. 
 
b) Nenhum biscoito com quebra e fora de dimensão. 
 
c) Nenhum biscoito com quebra e nenhum fora de dimensão. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Notas de Aula - Técnicas de Otimização e Simulação - Professor Ms. Kleison Freitas - Página 15 
 
 
4 PROBABILIDADE A POSTERIORI - TEOREMA DA MULTIPLICAÇÃO 
A regra da multiplicação calcula a probabilidade de o evento A ocorrer e a ocorrência do evento B, 
ou seja, P (A e B). 
P (A e B) = P (A). P (B), se A e B são independentes 
 P (A e B) = P (A). P (B/A), se A e B são dependentes 
 
• Eventos independentes: Dois eventos A e B são independentes se a ocorrência de um 
deles não afeta a probabilidade de ocorrência do outro, caso contrário, são dependentes. 
Então: 
P (A  B) = P (A). P (B), se A e B são independentes 
P (A  B) = P (A). P (B/A), se A e B são dependentes 
A regra da multiplicação é extremamente importante em virtude de suas inúmeras aplicações. 
 
Exercício 5: Suponha que a estrutura interna de uma máquina (Figura abaixo), de uma determinada indústria, 
ao sofrer a ação de uma força “F” na hora do processo produtivo, apresenta um risco de falhar e a produção 
ser parada, comprometendo a otimização do processo. Por análises anteriores, sabe-se que as probabilidades 
de falha nas barras a, b e c da estrutura são respectivamente, 6%; 5% e 4%. E é sabido que se ocorrer a falha 
em qualquer uma das barras isto leva a falha em toda a estrutura. Diante dessas estatísticas, sendo as falhas 
nas barras independentes, simule qual é a probabilidade de ocorrer a falha da estrutura e a produção ser 
prejudicada? 
 
 
 
 
 
Notas de Aula - Técnicas de Otimização e Simulação - Professor Ms. Kleison Freitas - Página 16 
 
 
5 PROBABILIDADE CONDICIONAL 
Se A e B são eventos associados a um espaço amostral , com P(B)  0, então a probabilidade de 
ocorrência do evento A condicionada à ocorrência do evento B, é denotada por P (A/B) e definida pela 
relação: 
)(
)(
)/(
BP
BAP
BAP

= , onde P (B) > 0 
Nesse caso, 
)(
)(
)(
)(
)/(



=
n
Bn
n
BAn
BAP . Se A e B forem independentes: )(
)(
)().(
)/( AP
BP
BPAP
BAP == , 
 
Analogamente P(B/A) = P(B), ou seja, a regra da probabilidade condicional não se aplica. 
 
Exercício 6: Suponha que nesta sala de aula há um total 15 alunos regularmente matriculados. O professor 
gostaria de identificar qual a área da estatística é mais interessante para o aluno se aprofundar de acordo a sua 
área de formação. Assim, um aluno será sorteado ao acaso entre todos os alunos que constam na lista de 
presença do professor. Se o número sorteado for par, qual a probabilidade de que seja o aluno de número 6? 
 
Exercício 7: Numa determinada indústria há duas máquinas que são manipuladas por dois operários que lá 
trabalham, João e Maria. O engenheiro de produção, diariamente, recolhe aleatoriamente as peças produzidas 
no setor e constatou que 40% dos produtos são feitos por João e 60% por Maria. João produz 10% dos 
produtos com defeitos, enquanto Maria, 20%. Como de costume, num dia qualquer, o engenheiro de 
produção pegou aleatoriamente uma peça do setor e verificou que está com defeito. Qual a probabilidade 
dessa peça ter sido feita por João? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Notas de Aula - Técnicas de Otimização e Simulação - Professor Ms. Kleison Freitas - Página 17 
 
 
6 PROBABILIDADE A POSTERIORI - TEOREMA DA PROBABILIDADE TOTAL 
SejamA1, A2, ..., An, eventos independentes que formam uma partição do espaço amostral. Então 
P(A1)  P(A2)  ...  P(An) = 
n
i
nAP
1
)(
=
. Seja B um evento desse espaço. Então: 

=
=
n
i
ii ABPAPBP
1
)/().()( 
 
 
O evento B ocorre como segue: B = (A1  B)  (A2  B)  (A3  B) ... (An  B) 
P (B) = P (A1  B)  (A2  B)  (A3  B) ... (An  B) 
E usando o teorema da multiplicação vem: 
P (B) = P (A1). P (B/A1) + P (A2). P (B/A2) +...+ P (An). P (B/An) 
Ou 
=
=
n
i
ii ABPAPBP
1
)/().()( 
 
Exercício 8: Uma indústria química brasileira fabrica três tipos de produtos químicos (A = Adubos, D = 
Detergentes e V = Venenos). Os percentuais de fabricação para os três tipos de produtos são 40%, 30% e 
30%, respectivamente. O percentual de vendas para cada produto é de 90%, 80% e 95%. Um produto é 
escolhido ao acaso na produção e qual a probabilidade dele ser vendido? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A1 
A2 
A3 
A4 
An 
B 
Notas de Aula - Técnicas de Otimização e Simulação - Professor Ms. Kleison Freitas - Página 18 
 
 
7 PROBABILIDADE A POSTERIORI - TEOREMA DE BAYES OU TEOREMA DA 
PROBABILIDADE A POSTERIORI 
Sejam A1, A2, ..., An, n eventos que formam a partição de  eventos mutuamente exclusivos e 
coletivamente exaustivos, A1, A2, ..., An, de tal forma que P(A1) + P(A2) +...+P(An) = 1, e um evento B, 
qualquer, então: 

=
=
n
i
ii
jj
j
ABPAP
ABPAP
BAP
1
)/().(
)/().(
)/( 
 
A diferença entre o teorema de Bayes e da probabilidade condicional, é que: O teorema de Bayes 
trabalha come eventos a priori (já ocorreu) e a condicional só trabalha com o evento condicional. 
Partição de um conjunto amostral: 
 
Então: 
)(
)(
)/(
BP
BAP
BAP
j
j

= 
)/().(...)/().()/().(
)/().(
)(...)(
)/().(
2211
1
nn
jj
n
jj
ABPAPABPAPABPAP
ABPAP
BAPBAP
ABPAP
+++
=
++
=
 
 
 
Então: 

=
=
n
i
ii
jj
j
ABPAP
ABPAP
BAP
1
)/().(
)/().(
)/( 
 
 
 
 
 
 
A1 
A2 
A3 
A4 
An 
B 
j = fixo 
i = varia 
Notas de Aula - Técnicas de Otimização e Simulação - Professor Ms. Kleison Freitas - Página 19 
 
 
Exercício 9: Uma indústria têxtil analisa se a proporção de itens defeituosos é a mesma para os turnos 
manhã, tarde e noite. Os dados foram coletados pelo engenheiro de produção da fábrica e encontram-se 
disponíveis no Quadro abaixo: 
 
Escolhe-se aleatoriamente um turno e dele extraímos uma peça ao acaso, verificando-se que a peça é 
defeituosa. Qual a probabilidade de a peça defeituosa ser do turno da tarde? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Notas de Aula - Técnicas de Otimização e Simulação - Professor Ms. Kleison Freitas - Página 20 
 
 
LISTA DE EXERCÍCIOS 
 
1) Em um canteiro de obras há 375 quadrantes de 1 metro quadrado, que foi definido por um engenheiro 
civil, numerados consecutivamente de 1 a 375 para realizar um estudo do solo por amostragem. Escolhe-se 
por sorteio um quadrante desse canteiro para estudo de suas características, a probabilidade de se obter um 
quadrante numerado com um número múltiplo de 15 é? 
Gabarito: 6,67% 
 
2) Dentre os números formados por três algarismos, qual é a probabilidade de encontrarmos um número 
maior que 930? 
Gabarito: 7,67% 
 
3) Os engenheiros de produção de uma indústria de refrigerante do tipo sabor cola André e Bruno tentam, 
independente, solucionar um problema na máquina de envase que está desregulada e compromentendo a 
produção nas próximas horas. A probabilidade de que André o resolva é 1/4 e a de Bruno é de 1/5. Qual a 
probabilidade de que: 
a) Somente André resolva o problema 
b) Somente Bruno resolva o problema 
c) Exatamente um resolva o problema 
d) Os dois resolvam o problema 
e) O problema seja resolvido 
f) O problema não seja resolvido 
Gabarito: a)1/5; b)3/20; c)7/20; d)1/20; e)2/5; f) 3/5 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Notas de Aula - Técnicas de Otimização e Simulação - Professor Ms. Kleison Freitas - Página 21 
 
 
4) Uma aeronave precisa ter uma grande confiabilidade (acima de 99,98%) de funcionamento dos seus 
sistemas eletrônicos para evitar acidentes. Seja o sistema representado pelo diagrama abaixo de uma 
aeronave produzida no Brasil para vôos domésticos e após análises feitas por seus engenheiros que a 
produziram obtiveram-se as seguintes confiabilidades por componentes, que funcionam independentemente 
um do outro. Sendo assim, calcule a confiabilidade do sistema da aeronave e verifique se está pronta para o 
transporte de passageiros. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Gabarito: 88,65% 
 
5) Em uma indústria automobilística, de cada 100 veículos produzidos sob encomenda 30 são de 4 portas, 20 
têm motor a gasolina e 5 são a gasolina e têm 4 portas. Qual a probabilidade de que as próximas encomendas 
sejam de carros que não são a gasolina e nem tem 4 portas? 
Gabarito: 55% 
 
6) Uma nave espacial tem mil componentes em série (A1, A2, ..., A1000), que funcionam de forma 
independente. Se a confiabilidade da nave deve ser de 0,9, e se todos os componentes têm o mesmo grau de 
confiabilidade, simule a confiabilidade de cada componente? 
Gabarito: 0,9998946 
 
 
 
 
 
0,9 
0,85 
0,9 
a 
b 
A 
B 
C 
Notas de Aula - Técnicas de Otimização e Simulação - Professor Ms. Kleison Freitas - Página 22 
 
 
7) Um empreiteiro apresentou orçamentos separados de dois projetos, um para a execução da parte elétrica e 
outra da parte de encanamento de um edifício. Ele acha que a probabilidade de ganhar da concorrência da 
parte elétrica é de ½. Caso ele ganhe a parte elétrica, a chance de ganhar a parte de encanamento é de ¾; caso 
contrário, essa probabilidade é de 1/3. Qual a probabilidade de ele: 
a) Não ganhar qualquer projeto? 
b) Ganhar apenas um projeto? 
Gabarito:a) 1/3; b) 0,292 
 
8) Três máquinas A, B e C produzem respectivamente, 60%, 30% e 10% do total de peças de uma fábrica. As 
porcentagens de produção defeituosa destas máquinas são respectivamente, 2%, 3% e 4%. Uma peça é 
selecionada aleatoriamente e é defeituosa. Encontre a probabilidade da peça ter sido produzida pela máquina 
C. 
Gabarito: 16% 
 
9) Uma indústria química brasileira fabrica três tipos de produtos químicos (A = Adubos, D = Detergentes e 
V = Venenos). Os percentuais de fabricação para os três tipos de produtos são 40%, 30% e 30%, 
respectivamente. O percentual de venda para cada produto é de 90%, 80% e 95%. Um produto é escolhido 
ao acaso na produção: 
a) Se ele for vendido, qual a probabilidade de que seja o produto A? 
b) Se ele não for vendido, qual a probabilidade de que seja o produto B? 
Gabarito: b) 88,5%; b) 40,67% 
 
10) Um engenheiro de produção, de forma empírica (ou a posteriori), submeteu 200 peças idênticas a três 
tratamentos químicos diferentes: 108 peças ao tratamento A, 60 peças ao tratamento B e 32 ao tratamento C. 
Como resultado, 21, 3 e 4 peças dos tratamentos A, B e C respectivamente apresentaram trincas após o 
tratamento, como visto no Quadro abaixo: 
Trincas 
Tratamentos 
Total 
A B C 
Com trincas 21 3 4 28 
Sem trincas 87 57 28 172 
Total 108 60 32 200 
 
Escolhe-se aleatoriamente um tratamento e dele extraímos uma peça ao acaso, verificando-se que a peça tem 
trinca. Qual a probabilidade de a peça com trinca ser do tratamento A? 
 
Notas de Aula - Técnicas de Otimização e Simulação - Professor Ms. Kleison Freitas - Página 23 
 
 
Nota de Aula 2 – Variável Aleatória Discreta 
 
1 INTRODUÇÃO 
A Estatística está interessada em fazer inferências sobre populações e suas características, para isso, os 
experimentos realizados são conduzidos com resultados que estão sujeitos ao acaso, e para obter estimativas 
que represente numericamente a população em estudo, é necessário buscar essas estimativas das características 
dessa população, ou seja, analisar as suas variáveis. 
Nesse caso, utilizaremos o termo variável aleatória e não apenas variável para indicar que o 
experimentorealizado pode resultar em muitos valores possíveis desta variável. 
Para exemplificar o termo usado, imagine se o experimento tem o objetivo de contar o número de 
clientes que entra em uma agência bancária para atendimento, a variável aleatória (o número de clientes) variará 
dia após dia, em parte por causa do fenômeno aleatório que influencia os consumidores a usarem os serviços 
do banco. Nesse caso, os possíveis valores dessa variável aleatória variam de zero ao número máximo de 
consumidores que o banco pode atender em um dia. 
Um outro exemplo sobre o assunto é, imagine que um laboratório cria ratos (cobaias) de uma só raça 
e mesma progênie (origem), em condições controladas de alimentação e manejo (movimento com as mãos). É 
razoável supor que os pesos desses ratos variam. Sabe-se que os machos pesam mais que as fêmeas e que os 
animais ganham peso com a idade. No entanto, mesmo sendo ratos de um só sexo e nascidos no mesmo dia, 
os seus pesos serão variáveis. Essa variabilidade ocorre ao acaso, pois resulta de uma soma de fatores não 
controlados. Portanto, peso dos ratos é uma variável aleatória. 
Pelos exemplos citados, número de clientes e peso dos ratos são duas variáveis aleatórias obtidas de 
forma diferentes, uma é obtida através de contagem e a outra por mensuração. Isto ocorre, pois, as variáveis 
aleatórias podem discretas (obtidas por contagem) ou contínuas (obtidas por mensuração). 
Diante disso, esta nota de aula terá como foco as variáveis aleatórias obtidas por contagem (as 
discretas), em que apresentará os seus conceitos principais e suas definições que ajudará no entendimento para 
a realização de experimentos aleatórios de diversas áreas. 
 
 
 
 
 
 
 
Notas de Aula - Técnicas de Otimização e Simulação - Professor Ms. Kleison Freitas - Página 24 
 
 
2 VARIÁVEL ALEATÓRIA 
2.1 DEFINIÇÃO: 
Variável aleatória é uma variável que assume valores associados com resultados aleatórios de um 
experimento, onde um (e apenas um) valor numérico é marcado para cada ponto amostral. 
A representação matemática padrão de uma variável aleatória é utilizar uma letra maiúscula (por 
exemplo: X) para denotar a variável aleatória teórica. Os possíveis valores (ou realizações) da variável aleatória 
são tipicamente denotados com uma letra minúscula (por exemplo: x). Por exemplo: 
- No caso discreto: 
X = Número de clientes esperando para serem servidos em um restaurante no horário do almoço 
x = 0, 1, 2, 3, ... 
- No caso contínuo: 
X = O peso (gramas) de um produto alimentício comprado em um supermercado 
x = 0 ≤ x ≤ 500 
 
2.2 DEFINIÇÃO DE VARIÁVEL ALEATÓRIA DISCRETA: 
Seja um experimento aleatório e o espaço amostral finito ou infinito (mas enumerável) associado a 
este experimento. Uma v.a. discreta é uma função X, que associa a cada elemento um único número real x. 
 
2.3 DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADE OU FUNÇÃO DE PROBABILIDADE: 
Além de identificar valores de uma v.a. X, atribui-se a probabilidade de ocorrência de cada um deles, 
com a seguinte notação: 
P(X = xi) = P(Ai) = f(xi), i = 1, 2, ..., k, ou seja, é o conjunto de todos as probabilidades, associado aos 
valores da v.a. X. 
Dois requisitos precisam ser satisfeitos por todas as distribuições de probabilidades para variáveis 
aleatórias discretas. 
 
2.3.1 Requisitos para a distribuição de probabilidade de uma v.a. discreta X: 
• 
=
==
k
i 1
i 1 ) x P(X , onde xi assume todos os valores possíveis de x; 
• 0  P(X=xi)  1,  xi 
 
 
 
Notas de Aula - Técnicas de Otimização e Simulação - Professor Ms. Kleison Freitas - Página 25 
 
 
Costuma ser útil olhar a distribuição de probabilidade na forma gráfica através do gráfico de pontos e 
em seguida formando um gráfico de colunas justapostas, ou seja, um histograma de probabilidade em que os 
retângulos são construídos de modo que suas bases de igual largura estejam centradas em cada valor de x e suas 
alturas sejam iguais às probabilidades correspondentes dadas por f(x). Com isso, é possível verificar a simetria 
ou não dos dados. 
Além do gráfico, existem características numéricas que são muito importantes em uma distribuição de 
probabilidade de uma variável aleatória. São os parâmetros da distribuição: Esperança e Variância. 
A Esperança matemática e a Variância de uma variável aleatória são medidas matemáticas 
populacionais, sendo: 
 
2.4 ESPERANÇA MATEMÁTICA 
Esperança matemática é um termo matemático que representa valor esperado, ou seja, é a média da 
distribuição de probabilidade. 
Assim, dada a v.a. X discreta, assumindo os valores x1, x2, ..., xk, então: 
 
 
 
 
 
OBS 1: Ao invés de usar µx, µ(x) ou µ, será usado E(X). 
OBS 2: Momento populacional: seja X1, …, Xn uma amostra aleatória de uma população com f.d.p. f(x). Para r 
=1,2,3, … o r-ésimo momento populacional (ou seja, da distribuição f(x)) é E[Xr]. 
Ou seja, a esperança matemática é um número real e pode também ser chamado de média ponderada 
da v.a. 
 
2.5 VARIÂNCIA (OU MOMENTO DE ORDEM 2): 
Viu-se que o desvio médio ( ))( XXE − é nulo, logo não serve como medida de dispersão, então, a 
medida que dá o grau de dispersão (ou de concentração) de probabilidade em torno da média é a variância, ou 
seja, o quadrado do desvio médio, então: 
 2)()( XXEXV −=  
 
Quanto menor a variância, menor o grau de dispersão de probabilidade em torno da média e vice-
versa. 
( ) 
=
==
k
i
ii xXPxXE
1
)( 
V(X) = E(X²) – [E(X)]² 
Notas de Aula - Técnicas de Otimização e Simulação - Professor Ms. Kleison Freitas - Página 26 
 
 
A variância é um quadrado, e muitas vezes o resultado torna-se artificial, pois a unidade de medida é 
ao quadrado, o que dificulta a sua interpretação, portanto, para contornar esse problema, utiliza-se o desvio 
padrão, que é a raiz quadrada da variância, ou seja, DP (X) = )(XV . 
 
2.6 RUÍNA DO JOGADOR E A CADEIA DE MARKOV – PROBLEMA ESTOCÁSTICO (ou 
aleatório) CLÁSSICO 
O termo “Ruína do Jogador”, é um problema clássico de processos estocásticos mais comumente 
expresso como o fato de que um jogador que joga um jogo de valor esperado negativo acabará eventualmente 
falindo, independentemente do seu sistema de apostas, ou seja, a probabilidade de falência é muito maior que 
de sobrevivência. 
O problema da Ruína do Jogador pode ser aplicado em diversas situações práticas, por exemplo, nas 
decisões gerenciais de empresas, na bolsa de valores, no mercado financeiro, no mercado de apostas, dentre 
outros. Nesses casos, por exemplo, o “jogador” é identificado como o empresário, a empresa, o investidor ou o 
apostador, e o estudo permite calcular a probabilidade de uma empresa, vista como “jogador”, vir a falir em um 
determinado tempo, caso comece com um determinado capital inicial. E essa sequência de apostas é o que 
chamamos de cadeia de Markov, que se refere à sequência de variáveis aleatórias, tais um processo move-se 
através de, com a propriedade de Markov definindo a dependência de série única entre períodos adjacentes 
(como em uma “cadeia”). Nesse caso, os passos sequenciais da cadeia são chamados de “passeio aleatório ou 
andar do bêbado”, pois a cada passo, a posição pode mudar com um valor absoluto positivo ou negativo com 
igual probabilidade. 
 
Exercício 1: Tomada de decisão na gestão empresarial: Uma seguradora paga R$ 30.000,00 em caso de 
acidente de carro e cobra uma taxa anual de R$ 1.000,00. Estudos feitos pela seguradora comprova que a 
probabilidade de que um carro sofra acidente é de 3% para as mulheres e de 7,5% para os homens. Simule: 
a) O quanto a seguradora espera ganhar (em R$) por carro segurado para uma mulher? 
b) E para um homem? 
c) Diante dos resultados obtidos, se você fosse um consultor, que sugestão você daria à seguradora visando a 
sua sobrevivência no mercado, ou seja, a cadeia de markov (apostas ao longo do tempo) aqui vale a pena para a 
seguradora?Notas de Aula - Técnicas de Otimização e Simulação - Professor Ms. Kleison Freitas - Página 27 
 
 
Exercício 2: Tomada de decisão em investimento de risco: Um investidor ganhou em 30% e perdeu em 
70% das 100 negociações feitas por ele na bolsa de valores. A média de lucros que ele obteve nesse período foi 
de R$ 1.000,00 e de perda foi de R$ 300,00. Diante disso, simule: 
a) A esperança de ganho, por negociação, nas próximas investidas que ele fará? 
b) Se o investidor fizer mais 100 negociações nos próximos dias, simule a esperança de retorno financeiro dele. 
c) Diante dos resultados, qual a tendência do investidor a longo prazo: ganhar ou perder dinheiro? 
 
Exercício 3: Tomada de decisão em jogo de azar: Um caça-níquel tem dois discos que funcionam 
independente um do outro. Cada disco tem 10 cores: 4 vermelhas, 3 amarelas, 2 cinzas e 1 laranja. Um jogador 
paga R$ 80,00 e aciona a máquina. Se aparecerem 2 vermelhas, ganha R$ 40,00. Se aparecerem 2 amarelas, 
ganha R$ 80,00; R$ 140,00 se aparecerem 2 cinzas e ganha R$ 180,00 se aparecerem 2 laranjas. Simule: 
a) A esperança de ganho (R$) de um jogador se este fizer uma única jogada, pois tem o perfil conservador e 
não quer arriscar mais que 80 reais para acionar a máquina. 
b) O desvio padrão de ganho ou perda (R$) dele nessa única jogada. 
c) Simulando uma cadeia de markov (várias jogadas ou uma cadeia de jogadas), diante dos resultados obtidos, o 
que acontecerá a longo prazo com este jogador? O que você o aconselha? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Notas de Aula - Técnicas de Otimização e Simulação - Professor Ms. Kleison Freitas - Página 28 
 
 
LISTA DE EXERCÍCIOS 
1) Estudo sobre Controle de Qualidade de Produção: O departamento de controle de qualidade de uma 
fábrica de refrigerante do tipo sabor cola verificou se o volume (ml) envasado e mais quatro componentes 
nutricionais (valor energético, carboidrato, sódio, açúcares) estão de acordo com o que diz o rótulo do produto. 
Assim, o engenheiro de produção responsável informou que neste dia específico foram produzidas pela sua 
equipe de plantão 6.366 refrigerantes de 600ml envasados em garrafas PET. Diante desta quantidade total, 
calculou-se através de uma amostra aleatória simples com margem de erro de 5% para mais ou para menos a 
quantidade de 362 garrafas que foram escolhidas aleatoriamente. A variável aleatória X investigada pelo 
controle de qualidade foi o número de defeitos obtidos, e o resultado encontrado pelo departamento foi: 
Número de 
Defeitos 
Quantidade 
de garrafas 
1 24 
2 33 
3 42 
4 30 
5 21 
Total 150 
Lembrando que a empresa não tolera defeito algum, mas caso ocorra tolera no máximo um defeito. Caso essa 
condição não seja atendida, o produto é descartado e não pode ser comercializado. Assim, com estes dados: 
a) Construa a distribuição de probabilidade de X. 
b) Calcule a esperança matemática de defeitos nas próximas produções por esta referida equipe. 
c) Qual o valor o desvio padrão? E o que isso significa? 
d) Qual decisão o engenheiro de produção tem que fazer para contornar tal situação? 
 
2) As probabilidades de que o departamento de produção de uma indústria receba uma ou duas encomendas 
extras de uma determinada peça no mesmo dia e sobrecarregue a equipe de produção, são 70% e 30% 
respectivamente. A probabilidade de que deixe de fazer uma encomenda, por razões diversas é 20%, mas isso 
ocasionará uma possível insatisfação do cliente pelo não atendimento do pedido no prazo prometido. A 
capacidade de produção de cada peça pelo departamento é de 90 minutos. Diante disso: 
a) Simule a variável aleatória X do tempo médio gasto (em horas) por dia produzindo as peças caso surja uma 
ou duas encomendas extras. 
b) Que decisão o engenheiro de produção responsável deverá tomar? 
Gabarito: 93,6 minutos, ou seja, mesmo deixando de fazer uma encomenda o tempo de produção ultrapassa a capacidade de produção da 
indústria.