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Análise Matemática I - 2006/2007 
 1ª aula teórica. pág. 1 
Cap. I - FUNÇÕES REAIS DE VARIÁVEL REAL 
 
1 . Noções topológicas no conjunto dos reais. 
 
1. 1- Módulo, distância, vizinhança. 
 
Def.1.1 Seja x ℜ∈ , designa-se módulo ou valor absoluto ao 
real positivo, 
 
�
�
�
<−
≥
=
0 xsex 
0 xse x 
x 
 
Prop.1.2* Sejam x e y, dois números reais, então: 
 
(1) 0≥x 
(2) xx ≤ 
(3) xx =− 
(4) yxxy ×= 
(5) se y ≠ 0,
y
x
y
x
= 
(6) yxyx +≤+ 
(7) yxyx −≥− 
(8) se n Ν∈ , nn xx = 
 
 
Equações com módulos 
 
00 =⇔= xx
 
axaxax −=∨=⇔=
 
abxabxabx −=−∨=−⇔=−
 
 
 
*
 A demonstração destas propriedades encontra-se no livro do Prof. Campos Ferreira 
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Inequações com módulos 
Supondo +ℜ∈a e −ℜ∈b 
 
] [aaxaxaaxaxax ,−∈⇔<<−⇔−>∧<⇔<
 
[ ]aaxaxaaxaxax ,−∈⇔≤≤−⇔−≥∧≤⇔≤
 
] [ ] [+∞∪−∞−∈⇔−<∨>⇔> ,, aaxaxaxax
 
] ] [ [+∞∪−∞−∈⇔−≤∨≥⇔≥ ,, aaxaxaxax
 
∅∈⇔< xx 0
 
00 =⇔≤ xx
 
∅∈⇔< xbx
 
 
Exemplos: 
a) ( )��
�
<++−
≥++
=+
01 xse 1
01 xse 1 x
1
x
x 
 
b) 15323232 =∨−=⇔=+∨−=+⇔=+ xxxxx 
 
c)
 
1532332 <<−⇔<+<−⇔<+ xxx
 
 
d) 15323232 >∨−<⇔>+∨−<+⇔>+ xxxxx 
 
Def.1.3 Distância entre dois números reais 
Seja x, y ℜ∈ , define-se distância entre x e y, yxyxd −=),( 
 
Prop.1.4 * Sejam x, y, e z ℜ∈ e d a distância definida 
anteriormente então, são válidas as três propriedades: 
 
(1) y xsse 0y)d(x, e 0y)d(x, ==≥ 
 
(2) x)d(y,=y)d(x, (simetria da distância) 
 
(3) z)d(y,+y)d(x,z)d(x, ≤ (desigualdade triangular) 
 
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Def.1.5 Vizinhança 
Seja a um n.º real, (a )ℜ∈ , dado um n.º ε > o, designa-se 
vizinhança de a, de raio ε , ao conjunto 
{ }εε <ℜ∈= ),(:)( axdxaV = { }ε<−ℜ∈ axx : 
 
Exemplo: 
=)5(1V { }15: <−ℜ∈ xx ={ }64: <<ℜ∈ xx 
 
1.2- Interior, exterior, fronteira, aderência e derivado de um 
conjunto. 
 
Prop.1.6 Seja A um subconjunto de números reais, A ℜ⊂ , e b 
um número real. Diz-se que: 
 
(i) b é um ponto interior ao conjunto A se existir uma 
vizinhança de b contida em A, (isto é se existir ε >o Tal que 
AbV ⊂)(ε ). 
 
(ii) b é um ponto exterior ao conjunto A se existir uma 
vizinhança de b disjunta de A isto é se existir ε >o tal que 
∅=AbV �)(ε . 
 
(iii) b é um ponto fronteiro de A se b não for ponto 
interior nem ponto exterior de A . 
 
(iv) b é um ponto aderente de A se φε ≠∩∀ AbV )( 
 
(v) b é um ponto de acumulação de A se 
 { }( ) φε ≠∩∀ bAbV |)( 
 
 
Faça a aplicação dos conhecimentos anteriores ao conjunto A 
] ] { }104,1 ∪=A 
 
 
 
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Def.1.7 Dado um conjunto A ℜ⊂ , designa-se: 
(1) Interior de A, int(A) (ou 
�
A), o conjunto das pontos 
interiores de A 
 
(2) Exterior de A, ext(A), o conjunto dos pontos exteriores de A. 
 
(3) Fronteira de A, fr(A), o conjunto dos pontos fronteiros a A. 
 
(4) Aderência de A, ou fecho de A, o conjunto int(A)� fr(A) e 
denota-se por A , ( A =
�
A� )(Afr ) 
 
(5) Derivado de A, A´, é o conjunto dos pontos de acumulação. 
 
 
Exemplos: 
(1 ) [ ]1,0=B 
] [1,0)int( =B fr(B)={ }1,0 B =[ ]1,0 [ ]1,0=′B 
] [ ] [+∞∪∞−= ,10,)(Bext 
 
 
(2) ∅=X 
)Xint( =∅ fr(X)=∅ X =∅ X′=∅ 
ext (X)=ℜ 
 
 
(3) ℜ=X 
 
Int(X)=ℜ fr(X)=∅ X =ℜ ℜ=′X 
ext (X)= ∅ 
 
 
 
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Obs.: 
Sendo cX o complementar do conjunto X ( cX =ℜ \X) 
Qualquer que seja X ℜ⊂ e cX : 
(i) int( cX )=ext(X) 
(ii) fr( cX )=fr(X) 
(iii) int(X) XXX ⊂′⊂⊂ 
 
1.3- Conjuntos abertos e conjuntos fechados. Conjuntos 
limitados. 
 
Def.1.8 Um conjunto A ℜ⊂ diz-se aberto se coincide com o 
interior (A=
�
A) e A ℜ⊂ diz-se fechado se coincidir com o fecho 
−
= AA( ). 
 
Exemplos: 
 
A= ] [5,0 A é aberto 
B=[ ]3,0 B é fechado 
C= ] ]5,0 C não é aberto nem fechado 
 
Def.1.9 Conjunto limitado 
Um conjunto A ℜ⊂ diz-se limitado se, dado um elemento Ab ∈ , 
existe ε +ℜ∈ tal que )(bVA ε⊂ . Caso contrário diz-se que A é 
ilimitado. 
 
Exemplos: 
 
(1) B=[ [ ] [ { }410,100,103,5 pi�∪− 
 
B é limitado 
 
(2) C= ] ]pi,∞− 
C não é limitado, diz-se então que é ilimitado.