PO-I-Ex1-2SEM2021

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Pesquisa Operacional I
1a Lista de Exerćıcios
Sérgio Ricardo de Souza
DATA DE ENVIO: 19/10/2021
DATA DE ENTREGA: 26/10/2021
1. O presidente Antônio Castor, da Companhia Ramos de Carvalho, quer utilizar, do melhor modo posśıvel,
a madeira dispońıvel em uma de suas regiões florestais. Dentro desta região, há uma serraria e uma
fábrica de compensados; assim, as toras podem ser convertidas em madeira beneficiada ou em compen-
sado.
Produzir uma mistura comercializável de 1 metro cúbico de madeira beneficiada requer 1 metro cúbico
de pinho e 4 metros cúbicos de canela. Produzir 100 metros quadrados de madeira compensada requer
2 metros cúbicos de pinho e 4 metros cúbicos de canela. Esta região tem dispońıveis 32 metros cúbicos
de pinho e 72 metros cúbicos de canela.
Compromissos de vendas exigem que sejam produzidos, durante o peŕıodo do planejamento, pelo menos
5 metros cúbicos de madeira beneficiada e 1.200 metros quadrados de madeira compensada. O lucro
devido a cada um dos produtos é de R$45, 00 por 1 metro cúbico de madeira beneficiada e R$60, 00 por
100 metros quadrados de madeira compensada, respectivamente. Sejam L a quantidade (em metros
cúbicos) de madeira beneficiada produzida e P a quantidade (em 100 metros quadrados) de madeira
compensada produzida. Expresse o problema como um modelo de Otimização Linear.
2. O gerente industrial Rolando Kent, da Companhia Siderúrgica Jericó, deve decidir quantos quilos de
aço puro x1 e quantos quilos de sucata de metal x2 deverá usar para fabricar uma peça fundida de
liga para um de seus clientes. Suponha que o custo por quilo de aço puro seja R$3, 00 e o custo por
quilo de sucata de metal seja R$6, 00. O pedido do cliente é expresso como uma necessidade de, pelo
menos, 5 quilos, mas ele está disposto a aceitar uma quantidade maior se a Companhia exigir um lote
de produção maior.
Suponha também que o fornecimento de aço puro seja limitado a 4 quilos e o de sucata de metal a
7 quilos. A relação de sucata para aço puro não pode exceder 7/8. As instalações industriais têm
dispońıveis somente 18 horas de tempo de fundição e moldagem; um quilo de aço puro requer 3 horas,
enquanto que um quilo de apara requer somente 2 horas de processamento industrial. Expresse todo o
problema como um modelo de Otimização Linear.
3. A Bom Sabor S.A. fabrica quatro tipos diferentes de cereais para o café da manhã: Barulhentos, En-
charcados, Pipocados e Repousantes. Cada um destes é um composto de ingredientes (grãos, vitaminas,
açucar e conservadores). Faça o ı́ndice i representar o ingrediente i, sendo i = 1, 2, . . . , I. Sejam aBi
a quantidade de ingredientes i num quilo de Barulhentos e, do mesmo modo, sejam aEi , aPi e aRi
as quantidades para os outros três tipos de cereais. Suponha que Mi seja a quantidade máxima de
ingrediente i dispońıvel durante o próximo mês para fabricar todos estes cereais para o café da manhã.
O lucro de um quilo de Barulhentos é representado por pB e o lucro para os outros cereais é representado
por pE , pP e pR, respectivamente. Faça xB, xE, xP e xR representarem o número de quilos de cada cereal
para o café da manhã fabricados durante o próximo mês. Pelo menos 105.000 quilos de Barulhentos
devem ser fabricados, bem como pelo menos 130.000 quilos de Encharcados, 45.000 quilos de Pipocados
e 600.000 quilos de Repousantes.
Mostre como uma programação de produção ótima pode ser obtida por meio de uma formulação de
Otimização Linear.
4. Uma refinaria produz três tipos de gasolina: comum, verde e amarela. Cada tipo de gasolina pode ser
produzida a partir da mistura de quatro tipos de petróleo: petróleo 1, petróleo 2, petróleo3 e petróleo
4. Cada tipo de gasolina requer determinadas especificações de octano e benzeno:
1
• um litro de gasolina comum requer, no mı́nimo, 0,20 litro de octano e 0,18 litro de benzeno;
• um litro de gasolina verde requer, no mı́nimo, 0,25 litro de octano e 0,20 litro de benzeno;
• um litro de gasolina amarela requer, no mı́nimo, 0,30 litro de octano e 0,22 litro de benzeno.
As composições de octano e benzeno, para cada tipo de petróleo, são:
• um litro de petróleo 1 contém uma taxa de 0,20 de octano e 0,25 de benzeno;
• um litro de petróleo 2 contém uma taxa de 0,30 de octano e 0,20 de benzeno;
• um litro de petróleo 3 contém uma taxa de 0,15 de octano e 0,30 de benzeno;
• um litro de petróleo 4 contém uma taxa de 0,40 de octano e 0,15 de benzeno.
Devido a contratos já assinados, a refinaria precisa produzir, diariamente, 12.000 litros de gasolina co-
mum, 10.000 litros de gasolina verde e 8.000 litros de gasolina amarela. A refinaria tem uma capacidade
máxima de produção de até 60.000 litros por dia de gasolina e pode comprar até 15.000 litros de cada
tipo de petróleo diariamente. Cada litro de gasolina comum, verde e amarela dá uma margem de con-
tribuição unitária de $0,40, $0,45 e $0,50, respectivamente. Os preços de compra por litro de petróleo
1, petróleo 2, petróleo 3 e petróleo 4 são, respectivamente, $0,20, $0,25, $0,30 e $0,30. Formular o
problema de programação linear de forma a maximizar a margem diária de contribuição.
5. Considere os problemas de otimização linear a seguir:
(i) Solucione-os graficamente, caso posśıvel. Caso não, explique as razões;
(ii) Indique, em cada caso, se a solução, caso exista, é única, múltipla ou ilimitada;
(iii) Escreva-os na forma padrão, considerando como padrão o caso de problemas de minimização.
(a) max z = 2x1 + x2
sujeito a 2x1 + x2 ≤ 4
2x1 + 3x2 ≤ 3
4x1 + x2 ≤ 5
x1 + 5x2 ≤ 1
x1 , x2 ≥ 0
(b) max z = x1 + 3x2
sujeito a −x1 − x2 ≤ −3
−x1 + x2 ≤ −1
x1 + 2x2 ≤ 4
x1 , x2 ≥ 0
(c) max z = x1 − 5x2
suj. a 2x1 − 3x2 ≥ −6
−4x1 + 2x2 ≤ −8
x1 ≤ 0
x2 irrestrita
(d) max z = 5x1 + 4x2
s. a x1 + 2x2 ≤ 6
−2x1 + x2 ≤ 4
5x1 + 3x2 ≤ 15
x1 ≥ 0 , x2 ≥ 0
2
(e) max z = 3x1 + 2x2
sujeito a x1 − x2 ≤ 1
x1 − x2 ≤ 2
x1 ≥ −5
2x1 + x2 = 8
x1 + x2 ≤ 10
x1 + 2x2 ≤ 12
x2 ≤ 10
x2 ≥ 0
(f) max z = 5x1 + 6x2
suj. a 2x1 + 3x2 ≤ 18
2x1 + x2 ≤ 12
3x1 + 3x2 ≤ 24
x1 ≥ 0
x2 ≤ 0
(g) max z = 15x1 + 6x2 + 9x3 + 2x4
suj. a 2x1 + x2 + 5x3 + 6x4 ≤ 20
3x1 + x2 + 3x3 + 25x4 ≤ 24
7x1 + x4 ≤ 70
x1 ≤ 0
x2 ≤ 0
x4 ≥ 0
(h) max z = 5x1 + 6x2
suj. a 2x1 + x2 ≤ 20
3x1 + x2 ≤ 24
7x1 + x2 ≤ 70
x1 ≤ 0
x2 ≤ 0
3