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G2 MAT1004 Cálculo a uma variável A 8-10-2008 2ª parte
3. a) Calcule os limites:
 numerador e denominador vão a zero, podemos usar a regra de l´hospital, que consiste em derivar numerador e denominador e fazer o limite. Fica então: 
 
 da mesma forma usamos a regra de l´hospital, obtendo:
b) Calcule as derivadas das funçôes abaixo:
 
 
 
4.Uma família de funções é dada por , 
 onde a e b são constantes.
a) Para que valores de a e b o gráfico de f tem uma assíntota vertical? Quais são as assíntotas verticais neste caso?
O gráfico tem assíntota vertical onde o denominador se anula, logo 
a+(x-b)2=0. Ou seja,basta a<0 e haverá duas assíntotas: a reta x=b+sqrt(-a) e a reta x=b-sqrt(-a).
b) Encontre a e b para que f tenha um máximo local em x=3,y=5.
Devemos ter f(3)=5 e f´(3)=0 e f´´(3)<0.
 
Calculando a derivada: 
 Se f´(3)=0, então b=3. e levando na equação anterior temos 5=1/a, logo a=1/5. 
Calculando a derivada 2ª:
 e 
 ., o que dá -50 se x=3. Como é um valor negativo, é de fato um máximo local.
5. Considere a função 
.
determine seu domínio
logaritmo só está definido para valores positivos, logo o domínio é R-{1} , ou a união de intervalos: (-infinito,1) e (1,+infinito).
determine assíntotas verticais e horizontais de f, se existirem
assíntota vertical: É preciso calcular o limite de f(x) quando x vai a 1. 
Ora (x-1) vai a zero, logo o logaritmo vai a –infinito. Temos então assíntota vertical em x=1. 
Já os limites de f(x) quando x vai ao infinito são ambos +infinito, logo não há assíntota horizontal.
determine máximos e mínimos locais de f, se existirem
calculando f´(x) : 
 
Vemos que , a derivada não se anula, logo não há extremos locais.
 intervalos de f crescente e decrescente
f´(x) tem o sinal de x-1, logo a função é decrescente para x<1 e crescente para x>1.
intervalos com concavidade para cima ou para baixo
calculando a derivada 2ª:
 Como a derivada segunda é negativa, a concavidade é para baixo. 
esboce o gráfico de f.
. Temos a tabela:
	x
	- infinito
	
	1
	
	+infinito
	f´
	zero
	negativo
	
	positivo
	zero
	f
	+infinito
	decresce
	
	cresce
	+infinito
Daí é fácil traçar o gráfico:
Uma outra possibilidade é fazer a mudança de variável u=x-1, ficando com a função ln(u2) que é uma função par. Basta então estudar para u>0, e a função fica g(u)= 2 ln(u), cujas propriedades e gráfico são imediatos.. Depois é só fazer a volta: x=u+1, que significa transladar o gráfico.
_1285399212.unknown
_1285399841.unknown
_1285400242.unknown
_1285411238.unknown
_1285411336.unknown
_1285400533.unknown
_1285400019.unknown
_1285399282.unknown
_1285399452.unknown
_1285399269.unknown
_1285398966.unknown
_1285399207.unknown
_1284890945.unknown
_1284902777.unknown
_1284890587.unknown
_1284450382.unknown