CALCULO VETORIAL - AOL03 (10 - 10)

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Cálculo Vetorial – AOL 03 
 
1) O campo divergente em R³ é definido na forma ∇ . �⃗� = + + , O campo divergente 
em R³ é definido na forma �⃗�. Desse modo, é necessário apenas conhecer os parâmetros 
desse campo vetorial �⃗� para que se efetue o cálculo do campo divergente ∇ . �⃗�. 
Considere, portanto, o campo Vetorial �⃗� = �⃗�i + �⃗�j + 𝑧𝑘. Considerando essas informações e 
o conteúdo estudado sobre campo divergente no R³, afirma-se que o campo divergente do 
vetor em questão é 3, porque: 
 
( ) o campo vetorial é ortonormal. 
( ) o campo vetorial tem seu contradomínio em R³. 
( ) o campo é definido em R³. 
( ) cada uma de suas derivadas parciais vale 2. 
( x ) cada uma de suas derivadas parciais vale 1. 
 
2) O gradiente é um operador que relaciona o campo escalar de várias variáveis com um 
campo vetorial. Dada a função f(x,y,z), o gradiente é definido como �⃗�f(x,y,z) = fx(x,y,z)i + 
fy(x,y,z)j + fz(x,y,z)k, segundo sua definição algébrica. 
 
Considerando essas informações e o conteúdo estudado acerca de gradiente e campos 
vetoriais, analise as afirmativas a seguir. 
 
I) Cada componente do campo vetorial gradiente corresponde à derivada parcial de 
f(x,y,z) na respectiva direção. 
II) O vetor gradiente em um ponto específico (x,y,z) represente a direção de menor 
variação da função f(x,y,z) no ponto. 
III) Um campo vetorial F(x,y,z) é dito conservativo quando existe uma função f(x,y,z) tal 
que F(x,y,z) = �⃗�f(x,y,z) que. 
IV) Mesmo que uma função não seja diferenciável, é possível existir o campo gradiente. 
 
Está correto apenas o que se afirma em: 
 
( ) II e III 
( ) I, III e IV 
( ) II e IV 
( ) I e II 
( x ) I e III 
 
3) Um campo gradiente de uma função escalar é definido em termos das derivadas parciais 
dela. Portanto, para uma função f(x,y), o campo gradiente é definido da seguinte forma: 
�⃗�f(x,y,z) = , . 
Considerando essa definição e o conteúdo estudado sobre campos vetoriais, afirma-se que 
o campo A(x,y) = (2x, 2xy) não é um campo gradiente porque: 
 
( ) o gradiente é definido em termos de mais derivadas. 
( x ) há uma impossibilidade de determinação da função f(x,y). 
( ) o campo em questão tem inúmeras derivadas. 
( ) o campo em questão é um campo escalar. 
( ) o domínio da função faz parte do conjunto numérico dos reais. 
 
4) Existem inúmeras maneiras de se representar algebricamente objetos matemáticos, o que 
vale também para os campos gradientes, divergentes e rotacionais, nem sempre escritos 
com o operador diferencial 𝛻. Portanto, é fundamental conhecer as mais diversas formas 
de representação de modo a se reconhecer tais objetos. 
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre campos gradientes, 
divergentes e rotacionais, pode-se afirmar que a expressão , , * (A,B,C) refere-se 
ao cálculo de um divergente porque: 
 
( ) é outra forma de se representar (f). 
( x ) é outra forma de se representar 𝛻 * �⃗� 
( ) é outra forma de se representar 𝛻(f) 
( ) é outra forma de se representar 𝛻²f 
( ) é outra forma de se representar 𝛻² * �⃗� 
 
5) O estudo dos campos gradientes, divergentes e rotacionais é importante, também, para a definição 
de algumas possíveis operações a serem realizadas entre eles. O Laplaciano, por exemplo, é 
definido pelo cálculo do divergente de um gradiente de uma função escalar f. Tome como exemplo 
uma função f(x,y,z) = xyz. 
Considerando essas informações e o conteúdo estudado acerca dos campos divergentes, 
gradientes e rotacionais, e acerca do Laplaciano, afirma-se que o Laplaciano escalar dessa 
função é 0 porque: 
 
( ) o contradomínio dessa função faz parte dos reais R². 
( ) as derivadas parciais de �⃗��⃗� são 1. 
( ) os eixos x, y e z são ortogonais entre si. 
( ) o operador diferencial nabla é escrito na forma 
²
,
²
,
²
. 
( x ) as derivadas parciais de �⃗�(�⃗�𝑓) são 0. 
 
6) Os campos divergentes, gradientes e rotacionais são definidos com base nos campos 
escalares e vetoriais em que são calculados. Além disso, a forma algébrica de cada campo 
é diferente, mas sempre levando em conta o operador diferencial nabla (𝛻. Somado a isso, 
os campos supracitados têm sentidos físico e geométrico, que não são evidentes apenas 
quando se observa algebricamente essas estruturas matemáticas. 
Considerando essas informações e o conteúdo estudado acerca de campos gradientes, 
divergentes e rotacionais, analise as afirmativas a seguir. 
 
I) O sentido geométrico de um gradiente está relacionado à direção e sentido de maior 
variação da função. 
II) O sentido físico de um divergente está relacionado à ‘entrada’ e ‘saída’ de flechas 
em um determinado volume infinitesimal. 
III) O sentido físico de um rotacional está na possibilidade de rotação de um objeto 
infinitesimal acerca de si mesmo. 
IV) O operador diferencial nabla tem um sentido físico de translação 
Está correto apenas o que se afirma em: 
 
( ) I, III e IV 
( ) II e IV 
( x ) I, II e III 
( ) I e II 
( ) II, III e IV 
 
7) Para calcular o gradiente de uma função escalar, basta fazer as derivadas parciais da 
mesma. Esse campo escalar é definido a partir de um operador diferencial conhecido como 
operador nabla, que é escrito da seguinte forma: �⃗� = , , . Considerando essas 
informações e o conteúdo estudado sobre gradiente, analise as afirmativas a seguir e 
assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s). 
 
I) ( V ) O gradiente de f(x,y) = x²y – y³ é �⃗�f(x,y) = 2xyi + (x² – 3y²)j. 
II) ( V ) O gradiente de f(x,y) = In(x + 2y) é �⃗�f(x,y) = i + . 
III) ( F ) O gradiente de f(x,y,z) = xcos é �⃗�f(x,y,z) = cos i – sin j – 
²
sin k. 
IV) ( V ) O gradiente de f(x,y,z) = 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 é �⃗�f(x,y,z) = (xi + yj + zk). 
 
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta: 
 
( ) V, V, F, F 
( ) F, F, V, V 
( ) V, F, F, V 
( ) F, F, V, F 
( x ) V, V, F, V 
 
8) Os campos divergente, gradiente e rotacional são calculados dados certos tipos de 
campos: escalares ou vetoriais. Saber identificar os tipos de campo, portanto, é primordial 
para a manipulação algébrica dos divergentes, gradientes e rotacionais. 
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre campos vetoriais 
escalares, analise as afirmativas a seguir. 
 
I) �⃗� = �⃗�i + �⃗�j + 𝑧k 
II) �⃗�(x,y,z) = A(x,y,z)𝚤 + B(x,y,z)𝚥 + C(x,y,z)�⃗� é um campo vetorial. 
III) F(x,y) = xy é uma função na qual se pode calcular o campo divergente. 
IV) A(x,y) = (2x, 2xy) é um campo escalar. 
 
Esta correto apenas o que se afirma em: 
 
( x ) I, II e III 
( ) I e IV 
( ) I, II e IV 
( ) I e II 
( ) II e IV 
 
9) Para calcular o divergente de um campo vetorial, primeiro se faz a derivada parcial das 
componentes em suas respectivas direções (lembrando que i, j e k representam as 
componentes nas direções de x, y e z). Depois, essas derivadas parciais são somadas, 
resultando em um campo escalar. 
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre campos vetoriais 
divergentes, analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para 
a(s) falsa(s). 
 
I) ( F ) Dado o campo vetorial F(x,y,z) = xzi + xyzj – y²k, o divergente é 𝛻 * F = zi + xzj 
II) ( V ) Dado o campo vetorial F(x,y,z) = xyzi – x²yk, o divergente é 𝛻 * F = yz. 
III) ( V ) Dado o campo vetorial F(x,y,z) = cosxzj – sinxyk, o divergente é 𝛻 * F = 0 
IV) ( F ) Dado o campo vetorial F(x,y,z) = exsinyi + excosyj + zk, o divergente é 𝛻 * F = 
2exsiny + 1. 
 
Agora, assinale a alternativa que representa a sequência correta: 
 
( ) V, F, V, F 
( x ) F, V, V, F 
( ) V, F, F, V 
( ) F, F, V, V 
( ) V, V, F, F 
 
10) Uma das formas de interpretarmos o operador nabla é escrevendo-o como um vetor, 
sendo 𝛻 = , , k. Isso é útil, pois naturalmente surgem as definições de gradiente, 
como o produto do nabla, por uma função 𝛻f de divergente, como um produto escalar entre 
 
vetores 𝛻 * F e, por fim, rotacional, como o produto vetorial 𝛻 x F= , que 
F(x,y,z) = P(x,y,z)i + Q(x,y,z)j + R(x,y,z)k. 
Considerando essas informações e os conteúdos estudados sobre campos vetoriais, 
ordene as etapas a seguir de acordo com a sequência na qual devem ser efetuados os 
passos para a utilização do operador rotacional: 
 
( 4 ) Somar os termos associados a sua respectiva direção i, j ou k. 
( 1 ) Montar a matriz do rotacional. 
( 3 ) Aplicar as derivadas parciais. 
( 2 ) Calcular o determinante. 
 
Agora, assinale a alternativa que representa a sequência correta: 
 
( ) 1, 2, 3, 4 
( x ) 4, 1, 3, 2 
( ) 3, 4, 1, 2 
( ) 4, 3, 2, 1 
( ) 2, 1, 3, 4 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Respostas 
1-E / 2-E / 3-B / 4-B / 5-E / 6-C / 7-E / 8-A / 9-B / 10-B