calculo_1_aula_7[1]

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Limites no infinito
Limites - 4
Bras´ılia, 2
o
semestre de 2009
Universidade de Bras´ılia - Faculdade do Gama
Limites - 4
Limites no infinito
Conteu´do
Limites no infinito
Limites - 4
Limites no infinito
Noc¸a˜o intuitiva
Qual o comportamento da func¸a˜o f (x) =
2x2
x2 + 1
a` medida que o
valor x cresce arbitrariamente?
x f (x)
0 0
1 1
2 1,6
4 1,882353
10 1,980198
100 1,999800
1000 1,999998
.
.
.
.
.
. x
y
-5 5
0.5
1.5
2.5
Limites - 4
Limites no infinito
Definic¸a˜o
Seja uma func¸a˜o f : (a,+∞)→ R, dizemos que o limite de f (x)
quando x cresce indefinidamente e´ L, e escrevemos
lim
x→+∞ f (x) = L
se para todo ε > 0, existir um nu´mero N > 0 tal que
se x > N ⇒ |f (x)− L| < ε
Limites - 4
Limites no infinito
Verificando o limite
Suspeitamos que lim
x→+∞
2x2
x2 + 1
= 2. Sera´ que isso esta´ correto?
Pela definic¸a˜o, precisamos determinar um N tal que se x > N,
enta˜o |f (x)− 2| < ε, na˜o importa o qua˜o pequeno seja esse ε.
∣∣∣∣ 2x2x2 + 1 − 2
∣∣∣∣ < ε ⇒ 2x2 + 1 < ε ⇒ x >
√
2− ε
ε
.
Note que a afirmac¸a˜o anterior so´ e´ va´lida para ε pequeno (pelo
menos menor do que dois!). Nesse caso, podemos escolher
simplesmente N =
√
2/ε que
x > N =
√
2/ε ⇒ |f (x)− 2| < ε, ∀ε ∈ (0, 2)
Limites - 4
Limites no infinito
Verificando o limite
Suspeitamos que lim
x→+∞
2x2
x2 + 1
= 2. Sera´ que isso esta´ correto?
Pela definic¸a˜o, precisamos determinar um N tal que se x > N,
enta˜o |f (x)− 2| < ε, na˜o importa o qua˜o pequeno seja esse ε.
∣∣∣∣ 2x2x2 + 1 − 2
∣∣∣∣ < ε ⇒ 2x2 + 1 < ε ⇒ x >
√
2− ε
ε
.
Note que a afirmac¸a˜o anterior so´ e´ va´lida para ε pequeno (pelo
menos menor do que dois!). Nesse caso, podemos escolher
simplesmente N =
√
2/ε que
x > N =
√
2/ε ⇒ |f (x)− 2| < ε, ∀ε ∈ (0, 2)
Limites - 4
Limites no infinito
Verificando o limite
Suspeitamos que lim
x→+∞
2x2
x2 + 1
= 2. Sera´ que isso esta´ correto?
Pela definic¸a˜o, precisamos determinar um N tal que se x > N,
enta˜o |f (x)− 2| < ε, na˜o importa o qua˜o pequeno seja esse ε.
∣∣∣∣ 2x2x2 + 1 − 2
∣∣∣∣ < ε ⇒ 2x2 + 1 < ε ⇒ x >
√
2− ε
ε
.
Note que a afirmac¸a˜o anterior so´ e´ va´lida para ε pequeno (pelo
menos menor do que dois!). Nesse caso, podemos escolher
simplesmente N =
√
2/ε que
x > N =
√
2/ε ⇒ |f (x)− 2| < ε, ∀ε ∈ (0, 2)
Limites - 4
Limites no infinito
Verificando o limite
Suspeitamos que lim
x→+∞
2x2
x2 + 1
= 2. Sera´ que isso esta´ correto?
Pela definic¸a˜o, precisamos determinar um N tal que se x > N,
enta˜o |f (x)− 2| < ε, na˜o importa o qua˜o pequeno seja esse ε.
∣∣∣∣ 2x2x2 + 1 − 2
∣∣∣∣ < ε ⇒ 2x2 + 1 < ε ⇒ x >
√
2− ε
ε
.
Note que a afirmac¸a˜o anterior so´ e´ va´lida para ε pequeno (pelo
menos menor do que dois!). Nesse caso, podemos escolher
simplesmente N =
√
2/ε que
x > N =
√
2/ε ⇒ |f (x)− 2| < ε, ∀ε ∈ (0, 2)
Limites - 4
Limites no infinito
Exemplos
Teorema: Se r ∈ Z∗+, enta˜o lim
x→±∞
1
x r
= 0.
Aplicac¸o˜es:
1. lim
x→−∞
4x − 3
2x + 5
2. lim
x→∞
2x2 − x + 5
4x3 − 1
3. lim
x→−∞
3x + 4√
2x2 − 5
4. lim
x→−∞
x2
x + 1
5. lim
x→∞
2x − x2
3x + 5
6. lim
x→∞
√
x2 + 1− x
Limites - 4
Limites no infinito
Exemplos
Teorema: Se r ∈ Z∗+, enta˜o lim
x→±∞
1
x r
= 0.
Aplicac¸o˜es:
1. lim
x→−∞
4x − 3
2x + 5
2. lim
x→∞
2x2 − x + 5
4x3 − 1
3. lim
x→−∞
3x + 4√
2x2 − 5
4. lim
x→−∞
x2
x + 1
5. lim
x→∞
2x − x2
3x + 5
6. lim
x→∞
√
x2 + 1− x
Limites - 4
Limites no infinito
Exemplos
Teorema: Se r ∈ Z∗+, enta˜o lim
x→±∞
1
x r
= 0.
Aplicac¸o˜es:
1. lim
x→−∞
4x − 3
2x + 5
2. lim
x→∞
2x2 − x + 5
4x3 − 1
3. lim
x→−∞
3x + 4√
2x2 − 5
4. lim
x→−∞
x2
x + 1
5. lim
x→∞
2x − x2
3x + 5
6. lim
x→∞
√
x2 + 1− x
Limites - 4
Limites no infinito
Exemplos
Teorema: Se r ∈ Z∗+, enta˜o lim
x→±∞
1
x r
= 0.
Aplicac¸o˜es:
1. lim
x→−∞
4x − 3
2x + 5
2. lim
x→∞
2x2 − x + 5
4x3 − 1
3. lim
x→−∞
3x + 4√
2x2 − 5
4. lim
x→−∞
x2
x + 1
5. lim
x→∞
2x − x2
3x + 5
6. lim
x→∞
√
x2 + 1− x
Limites - 4
Limites no infinito
Exemplos
Teorema: Se r ∈ Z∗+, enta˜o lim
x→±∞
1
x r
= 0.
Aplicac¸o˜es:
1. lim
x→−∞
4x − 3
2x + 5
2. lim
x→∞
2x2 − x + 5
4x3 − 1
3. lim
x→−∞
3x + 4√
2x2 − 5
4. lim
x→−∞
x2
x + 1
5. lim
x→∞
2x − x2
3x + 5
6. lim
x→∞
√
x2 + 1− x
Limites - 4
Limites no infinito
Exemplos
Teorema: Se r ∈ Z∗+, enta˜o lim
x→±∞
1
x r
= 0.
Aplicac¸o˜es:
1. lim
x→−∞
4x − 3
2x + 5
2. lim
x→∞
2x2 − x + 5
4x3 − 1
3. lim
x→−∞
3x + 4√
2x2 − 5
4. lim
x→−∞
x2
x + 1
5. lim
x→∞
2x − x2
3x + 5
6. lim
x→∞
√
x2 + 1− x
Limites - 4
Limites no infinito
Exemplos
Teorema: Se r ∈ Z∗+, enta˜o lim
x→±∞
1
x r
= 0.
Aplicac¸o˜es:
1. lim
x→−∞
4x − 3
2x + 5
2. lim
x→∞
2x2 − x + 5
4x3 − 1
3. lim
x→−∞
3x + 4√
2x2 − 5
4. lim
x→−∞
x2
x + 1
5. lim
x→∞
2x − x2
3x + 5
6. lim
x→∞
√
x2 + 1− x
Limites - 4
Limites no infinito
Ass´ıntotas
A reta x = a sera´ uma ass´ıntota vertical do gra´fico da func¸a˜o
f (x), se pelo menos umas das afirmativas for verdadeira:
(i) lim
x→a+
= +∞;
(ii) lim
x→a+
= −∞;
(iii) lim
x→a−
= +∞;
(iv) lim
x→a−
= −∞;
A reta y = b sera´ uma ass´ıntota horizontal do gra´fico da func¸a˜o
f (x), se pelo menos uma das afirmativas for verdadeira:
(i) lim
x→+∞ = b e para N ∈ R, se x > N ⇒ f (x) 6= b;
(ii) lim
x→−∞ = b e para N ∈ R, se x < N ⇒ f (x) 6= b;
Limites - 4
Limites no infinito
Exemplos
f (x) =
1
(x − 1)2 f (x) =
3x2 − x − 2
5x2 + 4x + 1
f (x) = e−xsen(2pix) + 1
x
y
-5 -3 -1 1 3 5
0.5
1.5
2.5
-3 -1 1 3
-6.0
-4.0
-2.0
0.0
2.0y
y=3/5
x
1 3 5
0.1
0.5
0.9
1.3
1.7
y
x
Quais sa˜o as ass´ıntotas da func¸a˜o f (x) = tg(x)?
Limites - 4
Limites no infinito
Refereˆncias
I
Livro texto, pp 88-98, sec¸a˜o 2.5;
I
Pro´xima aula: Livro texto, pp 98-114, sec¸o˜es 2.6 e 2.7.
Limites - 4
	Limites no infinito